The Project Gutenberg eBook of Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States and most other parts of the world at no cost and with almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the United States, you will have to check the laws of the country where you are located before using this eBook. Title: Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen Author: Karl Doehlemann Release date: October 22, 2017 [eBook #55791] Most recently updated: October 23, 2024 Language: German Credits: Produced by The Online Distributed Proofreading Team at http://www.pgdp.net *** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK GRUNDZÜGE DER PERSPEKTIVE NEBST ANWENDUNGEN *** Anmerkungen zur Transkription. Das Original ist in Fraktur gesetzt. Im Orginal gesperrter Text ist +so ausgezeichnet+. Im Original in Antiqua gesetzter Text ist ~so markiert~. Im Original kursiver Text ist _so gekennzeichnet_. Im Original fetter Text ist =so dargestellt=. Hochgestellte Sterne sind so dargestellt: _A^*_. Tiefgestellte Indizes sind so dargestellt: _F_{b}_. Weitere Anmerkungen zur Transkription finden sich am Ende des Buches. Die Sammlung »Aus Natur und Geisteswelt« nunmehr schon über 500 Bändchen umfassend, will die Errungenschaften von Wissenschaft, Kunst und Technik weiteren Kreisen zugänglich machen und einem jeden die Möglichkeit bieten, auch auf ihm ferner liegenden Gebieten deren Fortschritte zu verfolgen. Sie bietet wirkliche »+Einführungen+« in die Hauptwissensgebiete für den Unterricht oder Selbstunterricht, wie sie den heutigen methodischen Anforderungen entsprechen -- ein Bedürfnis erfüllend, dem Skizzen mit dem Charakter von »+Auszügen+« aus großen Lehrbüchern nie entsprechen können, da solche vielmehr eine Vertrautheit mit dem Stoffe schon voraussetzen. Damit sie stets auf die Höhe der Forschung gebracht werden können, sind die Bändchen nicht, wie die anderer Sammlungen, stereotypiert, sondern werden -- was freilich die Aufwendungen sehr wesentlich erhöht -- bei jeder Auflage durchaus neu bearbeitet und völlig neu gesetzt. So konnte der Sammlung auch der Erfolg nicht fehlen. Über 200 Bändchen liegen bereits in 2. bis 6. Auflage vor, insgesamt hat sie bis jetzt eine Verbreitung von über 3 Millionen Exemplaren gefunden. In den Dienst dieser Aufgabe haben sich darum auch in dankenswerter Weise von Anfang an die besten Namen gestellt, gern die Gelegenheit benutzend, sich an weiteste Kreise zu wenden, der Gefahr der »Spezialisierung« unserer Kultur entgegenzuarbeiten an ihrem Teil bestrebt. So vermag die Sammlung dem Leser ein Verständnis dafür zu vermitteln, wie die moderne Wissenschaft es erreicht hat, über wichtige Fragen von allgemeinem Interesse Licht zu verbreiten, und ihn dadurch zu einem +selbständigen+ Urteil zu befähigen. Alles in allem sind die schmücken, gehaltvollen Bände, denen von Professor +Tiemann+ ein neues künstlerisches Gewand gegeben, durchaus geeignet, die Freude am Buche zu wecken und daran zu gewöhnen, einen kleinen Betrag, den man für Erfüllung körperlicher Bedürfnisse nicht anzusehen pflegt, auch für die Befriedigung geistiger anzuwenden. Durch den billigen Preis ermöglichen sie es tatsächlich jedem, auch dem wenig Begüterten, sich eine Bibliothek zu schaffen, die das für ihn Wertvollste »Aus Natur und Geisteswelt« vereinigt. Jedes der meist reich illustrierten Bändchen ist in sich abgeschlossen und einzeln käuflich Jedes Bändchen geheftet Mark 1.--, in Leinwand gebunden Mark 1.25 Werke, die mehrere Bändchen umfassen, auch in +einem+ Band gebunden Leipzig, 1. Januar 1915 B. G. Teubner Jedes Bändchen geheftet M. 1.--, in Leinwand gebunden M. 1.25 *) auf Wunsch auch in Halbpergamentbänden zu M. 2.-- Zur bildenden Kunst, Musik und Schauspielkunst sind bisher erschienen: [Allgemeine Kunstwissenschaft, Kunstpflege] =Bau und Leben der bildenden Kunst.= Von Direktor Professor ~Dr.~ +Th. Volbehr+. 2. Auflage. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 68.*) =Ästhetik.= Von Professor ~Dr.~ R. +Hamann+. (Bd. 345.*) =Kunstpflege in Haus und Heimat.= Von Superintendent +R. Bürkner+. 2. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 77.) [Kunstgewerbe] =Deutsche Kunst im täglichen Leben bis zum Schlusse des 18. Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +B. Haendcke+. Mit 63 Abbildungen. (Bd. 198.) =Geschichte der Gartenkunst.= Von Regierungs-Baumeister +Chr. Ranck+. Mit 41 Abbildungen. (Bd. 274.) [Kunstgeschichte] =Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst.= Von ~Dr.~ +E. Cohn-Wiener+. 2 Bände. Mit zahlreichen Abbildungen. (Auch in 1 Band gebunden.) Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abbild. (Bd. 317.*) Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abbildungen. (Bd. 318.*) [Alte Kunst] =Die Blütezeit der griechischen Kunst im Spiegel der Reliefsarkophage.= Eine Einführung in die griechische Plastik. Von ~Dr.~ +H. Wachtler+. Mit 8 Tafeln und 82 Abbild. (Bd. 272.*) =Die dekorative Kunst des Altertums.= Von ~Dr.~ +Fr. Poulsen+. Mit 112 Abbildungen. (Bd. 454.*) =Pompeji, eine hellenistische Stadt in Italien.= Von Professor ~Dr.~ +Fr. v. Duhn+. 2. Auflage. Mit 62 Abbildungen. (Bd. 114.) =Michelangelo.= Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von Professor ~Dr.~ +E. Hildebrandt+. Mit 44 Abbildungen. (Bd. 392.*) =Die Renaissancearchitektur in Italien I.= Von ~Dr.~ +P. Frankl+. Mit 12 Tafeln und 27 Textabbildungen. (Bd. 381.*) [Neuere Kunst] =Die altdeutschen Maler in Süddeutschland.= Von +H. Nemitz+. Mit einem Bilderanhang (Bd. 464.*) =Albrecht Dürer.= Von ~Dr.~ +R. Wustmann+. Mit 33 Abbildungen. (Bd. 97.*) =Rembrandt.= Von Professor ~Dr.~ +P. Schubring+. Mit 50 Abbildungen. (Bd. 158.*) =Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert.= Von ~Dr.~ +H. Jantzen+. Mit zahlreichen Abbildungen. (Bd. 373.*) =Deutsche Baukunst im Mittelalter.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. 3. Auflage. Mit 29 Abbildungen. (Bd. 8.*) [Neuere Kunst] =Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18. Jahrhunderts.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. Mit 62 Abbildungen und 3 Tafeln. (Bd. 326.*) =Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +A. Matthaei+. Mit 35 Abbildungen. (Bd. 453.*) [19. Jahrh.] =Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert.= Von Professor ~Dr.~ +R. Hamann+. 2 Bände Text, 2 Bände mit 57 ganzseitigen und 200 halbseitigen Abbildungen. (Bd. 448--451, in 2 Doppelbänden, auch in 1 Halbpergament zu M. 6.--) =Die Maler des Impressionismus.= Von Professor ~Dr.~ +B. Lázàr+. Mit 32 Abbildungen und 1 farbigen Tafel. (Bd. 395.*) [Orient.] =Ostasiatische Kunst und ihr Einfluß auf Europa.= Von Direktor Professor ~Dr.~ +R. Graul+. Mit 49 Abbildungen. (Bd. 87.) [Neuere Musikgeschichte] =Haydn, Mozart, Beethoven.= Von Professor ~Dr.~ +C. Krebs+. 2. Auflage. Mit 4 Bildnissen. (Bd. 92.) =Die Blütezeit der musikalischen Romantik in Deutschland.= Von ~Dr.~ +E. Istel+. Mit 1 Silhouette. (Bd. 239.) =Das Kunstwerk Richard Wagners.= Von ~Dr.~ +E. Istel+. Mit 1 Bildnis Richard Wagners. (Bd. 330.) =Die moderne Oper.= Von ~Dr.~ +E. Istel+ (Bd. 495.) [Musiktheorie] =Die Grundlagen der Tonkunst.= Versuch einer genetischen Darstellung der allgemeinen Musiklehre. Von Professor ~Dr.~ +H. Rietsch+. (Bd. 178.) =Musikalische Kompositionsformen.= Von +S. G. Kallenberg+. 2 Bände. (Bd. 412, 413, auch in 1 Band gebunden.) Bd. I: Die elementaren Tonverbindungen als Grundlage der Harmonielehre. (Bd. 412.) Bd. II: Kontrapunktik und Formenlehre. (Bd. 413.) =Die Instrumente des Orchesters.= Von Professor ~Dr.~ +Fr. Volbach+. Mit 60 Abbildungen. (Bd. 384.) =Das moderne Orchester in seiner Entwicklung.= Von Prof. ~Dr.~ +Fr. Volbach+. Mit Partiturbeispielen u. 3 Tafeln. (Bd. 308.) =Klavier, Orgel, Harmonium.= Das Wesen der Tasteninstrumente. Von Professor ~Dr.~ +O. Bie+. (Bd. 325.) [Schauspielkunst] =Das Theater.= Schauspielhaus und Schauspielkunst vom griechischen Altertum bis auf die Gegenwart. Von ~Dr.~ +Chr. Gaehde+. 2. Auflage. Mit 18 Abbildungen. (Bd. 230.) +Weitere Bände befinden sich in Vorbereitung.+ Aus Natur und Geisteswelt Sammlung wissenschaftlich-gemeinverständlicher Darstellungen 510. Bändchen Grundzüge der Perspektive nebst Anwendungen Von ~Dr.~ Karl Doehlemann O. ö. Professor an der Kgl. Technischen Hochschule in München Mit 91 Figuren und 11 Abbildungen [Illustration] Druck und Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin 1916 Alle Rechte, einschließlich des Übersetzungsrechts, vorbehalten. Vorwort. Die Darstellung der Grundzüge der Perspektive und ihrer Anwendungen, wie sie im folgenden gegeben wird, ist hervorgegangen aus öffentlichen Vorträgen, die ich seit einer langen Reihe von Jahren in München im Volkshochschulverein halte und die von einem Publikum besucht sind, das sich aus allen Ständen und Berufsklassen zusammensetzt. Um eine schriftliche Bearbeitung dieses Gegenstandes weiteren Kreisen zugänglich zu machen, schien es mir vor allem notwendig, das Buch mit möglichst zahlreichen Figuren auszustatten. Fast jeder größeren Aufgabe ist noch eine eigene Figur beigegeben, welche die Lage des darzustellenden Gegenstandes gegen die Bildtafel wiedergibt und eine genaue Vorstellung der räumlichen Anordnung und der vorzunehmenden geometrischen Überlegungen ermöglichen soll. Bei der Wahl der abzubildenden Gegenstände war die Klarheit und Übersichtlichkeit des Bildes maßgebend. Es mußten deswegen einfache Formen gewählt werden und diese konnten nicht immer auch in ästhetischer Hinsicht befriedigen. Was die Abgrenzung des Stoffes betrifft, so wurde in einem einleitenden Abschnitt die Darstellung eines Gegenstandes in Grund- und Aufriß erörtert. Ich wüßte nicht, wie man das umgehen könnte. Denn es ist für den Anfänger doch unerläßlich, daß er sich einen Körper, den er in Perspektive setzt, vorher seiner Größe und Lage nach genau bestimmt. In bezug auf Strenge der Entwicklung bin ich so weit gegangen, als es bei einer für weitere Kreise bestimmten Darstellung angängig ist: Das ist nötig, um eine sichere Grundlage zu gewinnen. Mit allgemeinen und verschwommenen Redensarten ist demjenigen nicht gedient, der +zu klaren+ Begriffen und Vorstellungen in dem hier behandelten Gebiete gelangen will. Was viele von der Beschäftigung mit der Perspektive abhält, ist der Umstand, daß diese Disziplin sich ohne Geometrie, also ohne mathematische Betrachtungen, nicht behandeln läßt. In der Tat werden wir im Laufe unserer Betrachtungen einige einfache Sätze aus der Planimetrie und der Stereometrie voraussetzen müssen. Aber darin liegen nicht die eigentlichen Schwierigkeiten. Diese Sätze werden die Leser verhältnismäßig leicht verstehen oder als anschauliche Tatsachen hinnehmen. Die Hauptschwierigkeit wird vielmehr die sein, daß mit all den Figuren, die im folgenden zu zeichnen sind, gewisse räumliche Vorstellungen und Überlegungen zu verbinden sind. Es wird nur durch Nachdenken möglich sein, sich in diese Dinge hineinzuleben. Nur auf diesem Wege wird man den Begriff des gesetzmäßigen, mathematischen Bildes gewinnen. Das aber ist für viele Berufsarten nötig, namentlich in der Gegenwart, in der neben dem geschriebenen und gedruckten Wort das +Bild+ die Welt beherrscht. Inhaltsübersicht. Seite Vorwort III Einleitung: Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern 1 § 1. Das perspektivische Bild 1 § 2. Der gerade Riß 6 Der perspektivische Entwurf 13 § 3. Die Schnittmethode 13 § 4. Der Satz vom Fluchtpunkt 20 § 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes 24 § 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab 27 § 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene 33 § 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben 41 § 9. Schiefe Linien im Raume 59 § 10. Der photographische Apparat 64 § 11. Die Wahl der Distanz 67 § 12. Unzugängliche Distanz und Fluchtpunkte 75 § 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden 86 § 14. Die Darstellung des Kreises 90 § 15. Einfache Schattenkonstruktionen 96 § 16. Künstlerische Freiheiten 99 Literaturverzeichnis 102 Sachregister 103 Einleitung. Zwei verschiedene Arten von geometrischen Bildern. § 1. Das perspektivische Bild. =1. Zweck einer Abbildung.= Nehmen wir an, wir betrachten irgendein Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk der Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir dann über die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes, über die relativen Größenverhältnisse und schließlich auch über die wirklichen Maße des Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt sind, so daß der Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so sagen wir, daß wir eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße Anblick von einer Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen. Denn jedes Objekt verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum Teil selbst: wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten brauchen. Bei kleineren Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa schon Bewegungen des Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten gegenüber, wie zum Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter Umständen ganze Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung derselben zu gewinnen. +Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie wirklich vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen Grade die Objekte.+ Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein, wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können. Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast ohne es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die Hand; es vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde und lernt dadurch allmählich +Sehen+. So kommt es, daß heutzutage bei uns auch der Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude oder eine Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine Abbildung, etwa eine Photographie, zu sehen bekommt. [Illustration: Abb. 1.] Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände so wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus dem Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes« abzuleiten haben. =2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes.= Zunächst wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns ermöglicht, das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen, mechanisch herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem Holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von unserem Standpunkte aus gerechnet, befindet sich der abzubildende Gegenstand. Wir sehen denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die Betrachtung zu vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also den Gegenstand nur mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir noch bei jeder Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer anderen Ansicht erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge im Raume zu fixieren: man erreicht dies, indem man noch ein Stativ mit einer undurchsichtigen Platte anbringt, in welche eine kleine Öffnung, ein Guckloch, geschnitten ist. Wir wollen nun den Gegenstand betrachten, indem wir das Auge ganz nahe an dieses Guckloch bringen; dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im Raume angewiesen. Man vergleiche dazu auch die Abbildung 1, welche dem Buche von Albrecht Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit«, Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt man den von uns beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im Lehnstuhl sitzende Mann. Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa durch Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen wir dazu über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch aus sehen, +auf der Glasplatte nachzuzeichnen+. Es decken sich also für mein Auge die gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des Gegenstandes. Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird dann auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen Eindruck machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch vor mir zu sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung des Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein »Bild« des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur +Linien+; von den Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe des Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf einmal erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften im Bilde wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls die Herstellung einer +Linienzeichnung+, welche die Umrisse und überhaupt die wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie genügt in vielen Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt mit einer ganz wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung. =3. Definition des perspektivischen Bildes.= Wir müssen jetzt aber dazu übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge Herleitung zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf der Glastafel das rein Geometrische herausschälen. [Illustration: Fig. 1.] Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier, das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt wird. Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die »Tafel«. Der abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer, nämlich ein Würfel _abcdefgh_. In Fig. 1 geben wir zunächst eine Darstellung des ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch welche wir hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt _O_ im Raume gegeben, den wir in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das »Auge« nennen. Wenn wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins Auge faßten und sie auf der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir jetzt diese Linien in einzelne Punkte auf und betrachten zunächst einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke _a_. Was heißt es nun, daß wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte des Gegenstandes nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der betreffende Punkt _a_, die Bleistiftspitze _a'_, welche ihn auf der Glastafel markiert, und das Guckloch in einer +geraden+ Linie. Denn wenn sich zwei Punkte im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden durch das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt _O_ eine Gerade nach dem Punkte _a_ und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel. Der Schnittpunkt ist eben _a'_. Wir nennen _a'_ das »Bild« oder den »Riß« des Punktes _a_. Die durch _O_ gehenden Geraden oder Strahlen bezeichnen wir als »Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen« oder »Sehstrahlen«, den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«. [Illustration: Fig. 2.] Denken wir uns nach allen Punkten der Linien des Gegenstandes diese Strahlen gezogen und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so bilden alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein perspektivisches Bild« des Objektes oder auch eine »Perspektive« des Würfels heißen. In Fig. 2 ist ein solches Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Die Bildebene Π ist hier die Ebene des Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der ganze geometrische Prozeß, sondern das Bild selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie sich für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder anders erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber verändern, so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei Faktoren abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt _O_ gegenüber der Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt _O_ und der Körper fest angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also sagen: =Satz 1.= +Sind die Bildebene Π, das Auge _O_ und der Körper im Raume gegeben, so erhält man das perspektivische Bild des Körpers als den+ =Schnitt= +der nach den Punkten des Körpers gehenden Projektionsstrahlen mit der Bildebene+. Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und Zirkel konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf einer Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von »Linearperspektive« oder »Linienperspektive«. Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn jede Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der photographische Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt. Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst verwickelter. Wir sehen nicht mit +einem+ Auge, sondern mit beiden Augen, und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach allen Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich ab. Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in seiner rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen Bilder sind unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen, die Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen wir davon handeln, wie man noch auf +andere+ Weise Bilder oder Abbildungen von räumlichen Gegenständen erhalten kann. § 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß. =4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene.= Hängen wir einen schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung »lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal« bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog. »Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern lotrecht aufgeführt. [Illustration: Fig. 3.] Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für den folgenden mathematischen =Satz 2.= »+Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und ein Punkt _p_ außerhalb derselben (Fig. 3), so kann man von dem Punkte auf diese Ebene immer eine Senkrechte oder ein Lot fällen. Diese Senkrechte schneidet die Ebene in einem Punkte, den wir _p_{1}_ nennen wollen. Er mag der Fußpunkt der Senkrechten heißen. Der Abstand des gegebenen Punktes von der gegebenen Ebene ist gleich der Entfernung, welche der gegebene Punkt _p_ und der Fußpunkt _p_{1}_ bestimmen, also = der Strecke _pp_{1}_.+« Die Ebene Π_{1} kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der »Vertikalen« zusammen. [Illustration: Fig. 4.] =5. Der gerade (rechtwinklige) Riß.= Den Fußpunkt _p_{1}_ der von einem Punkte _p_ auf eine Ebene Π_{1} gefällten Senkrechten nennt man den +geraden+ oder +rechtwinkligen+ oder +orthogonalen+ Riß des Punktes _p_ auf die Ebene Π_{1}. Die Ebene Π_{1} heißt wieder die Bildtafel, Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet. Man sagt auch: der Punkt _p_ ist orthogonal auf die Ebene Π_{1} projiziert worden. Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. Es sei z. B. ein Würfel _abcdefgh_ gegeben und die Ebene Π_{1}; wir erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch die Fig. 4. _a_ sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch _a_ das Lot zur Ebene Π_{1} gezeichnet, welches in _a_{1}_ die Tafel Π_{1} durchsetzt. _a_{1}_ ist der gerade Riß des Punktes _a_. Eine zweite Ecke _b_ des Würfels liefert ebenso den Riß _b_{1}_. Dann wird man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke _ab_ Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke _a_{1}b_{1}_ liegen, d. h. _a_{1}b_{1}_ ist der Riß von _ab_. Führen wir die Projektion für alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur _a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_, die den orthogonalen Riß des Würfels in der Ebene Π_{1} gibt. In Fig. 5 ist weiter ein solcher Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene des Papiers als Tafel Π_{1} gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume über der Buchseite. Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu beweisenden Satz zu veranschaulichen: =Satz 3.= +Die geraden Risse paralleler Geraden sind selbst wieder parallel.+ Beispielsweise sind _ab_ und _cd_ zwei im Raume parallele Gerade, und ihre Risse _a_{1}b_{1}_ und _c_{1}d_{1}_ sind ebenfalls parallel. Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer solchen Darstellung kennen lernen. [Illustration: Fig. 5.] _A_ sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π_{1} steht (Fig. 6). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt _a_, so fällt das Lot, das man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden _A_ zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes _a_ wird der Punkt _a_{1}_, in dem die Gerade _A_ die Bildebene durchbohrt. Aber auch jeder andere Punkt _b_, _c_ ... von _A_ hat einen Riß _b_{1}_, _c_{1}_ ..., der stets mit _a_{1}_ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade _A_, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt, ihren Schnittpunkt mit der Tafel. Stellen wir uns ferner eine Ebene _efki_ vor (Fig. 6), welche auf der Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, wenn Π_{1} horizontal gedacht wird, und ist _ef_ die Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser Ebene auf die Linie _ef_. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel. [Illustration: Fig. 6.] Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen, verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. B. in Fig. 6 _defghikl_ ein Würfel, der mit seiner einen Fläche _defg_ in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses Quadrat _defg_. Die vier Kanten _dh_, _ei_, _fk_, _gl_ erscheinen als Punkte, und die vier Ebenen _deih_, _efki_, _fglk_ und _gdhl_, welche auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die Geraden _de_, _ef_, _fg_, _gd_ über. Setzen wir aber auf diesen ersten Würfel einen zweiten Würfel _hiklmnop_, so hat dieser zweite Würfel den gleichen Riß _defg_, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende Prisma +defgmnop+ hat den Riß +defg+. Fig. 7 gibt wieder die wahre Gestalt der Risse. [Illustration: Fig. 7.] Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder +Plan+ einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch diese rechtwinkligen Risse als +Bilder+ der betreffenden Gegenstände bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 ~m~, auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 ~m~ über der Stadt auf, so wird schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken (Fig. 6), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach: =Satz 4.= +Der rechtwinklige Riß eines Gegenstandes ist das Bild, wie es einem Beobachter erscheint, der sich unendlich weit von der Bildebene entfernt befindet und senkrecht auf sie herunterschaut.+ Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme. =6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse.= Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand +vollständig+ durch Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da +ein+ Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen +zweiten+ Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π_{2}, die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π_{1} senkrecht stehe. Die in Fig. 8 gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke _a_ des Würfels liefert in der ersten Tafel Π_{1} den Riß _a_{1}_. Außerdem hat der Punkt _a_ aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer Definition, indem wir uns von _a_ eine Senkrechte zu Π_{2} konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte in _a_{2}_ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von _a_ in der Π_{2}. Wir nennen _a_{1}_ den ersten, _a_{2}_ den zweiten Riß des Punktes _a_. Wie ferner der Würfel _abcdefgh_ in der Π_{1} den Riß _a_{1}b_{1}c_{1}d_{1}e_{1}f_{1}g_{1}h_{1}_ liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß _a_{2}b_{2}c_{2}d_{2}e_{2}f_{2}g_{2}h_{2}_ des Würfels in der Π_{2} konstruieren. Die beiden Risse werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste Tafel Π_{1} können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π_{2} ist dann eine Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder +Gerade+, welche zur Aufrißebene Π_{2} senkrecht stehen, in ihr als +Punkte+ und +Ebenen+, welche auf Π_{2} senkrecht stehen, bilden sich als +Gerade+ in der Π_{2} ab. [Illustration: Fig. 8.] Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π_{1} und Π_{2} etwa in Holz gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert (Fig. 8). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat sind z. B. _a_{1}_ und _a_{2}_ die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt _a_{1}_ der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π_{1}, und ebenso konstruieren wir im Punkte _a_{2}_ der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke _a_. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen: =Satz 5.= +Sind die beiden Tafeln im Raume gegeben und in ihnen die Risse eines Gegenstandes, in der richtigen Zuordnung, so daß also von jedem Punkte die beiden Risse unterschieden werden, so ist dadurch der Gegenstand und seine Lage im Raume bestimmt.+ [Illustration: Fig. 9.] =7. Das Zusammenlegen der Tafeln.= Es wäre recht unbequem, wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll. Was wir wollen, ist eine auf +einem+ Blatte befindliche Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei _K_ die Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die wir kurz die +Kante+ nennen. Wir drehen nun die Π_{2} um _K_ wie um ein Scharnier so lange, bis Π_{2} mit Π_{1} zusammenfällt. Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. Der beliebige Punkt _a_ hat als ersten Riß den Punkt _a_{1}_, als zweiten Riß den Punkt _a_{2}'_ Es fragt sich, wohin _a_{2}'_ gelangt, wenn die Aufrißebene Π_{2} durch die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten _aa_{1}_ und _aa_{2}'_ bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante _K_ senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten Ebene mit der Kante _K_ sei a. Es ist also jetzt sowohl _a_{1}_a ⊥ _K_[1] als auch _a_{2}'_a ⊥ _K_. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt _a_{2}'_ einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius _a_{2}'_a, der in der schraffierten Ebene _a_{1}aa_{2}'_a liegt. Ist also _a_{2}_ die Lage, welche _a_{2}'_ nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch _a_{2}_a ⊥ _K_ sein; demnach fällt _a_{2}_ auf die Verlängerung der Linie _a_{1}_a, und es ist _a_{2}_a = _a_{2}'_a. [1] ⊥ ist das Zeichen für senkrecht auf. [Illustration: Fig. 10.] In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die Aufrißebene vorstellt. Die Kante _K_ ist als eine horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse _a_{1}_ und _a_{2}_ offenbar auf einem Lote zur Kante _K_ gelegen sein; der Schnittpunkt des Lotes _a_{1}a_{2}_ mit _K_ ist der Punkt a. Es folgt also: =Satz 6.= +Nach der Umlegung der Aufrißebene in die Grundrißebene liegen die beiden Risse eines Punktes stets auf einer Senkrechten zur Kante oder kurz auf einem Kantenlote.+ Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer Senkrechten zu _K_ liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung _a_{1}_ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung _a_{2}_ als zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten Punkt _a_ im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der _a_{2}_ liegt, um _K_ in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt _a_ auf die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde. [Illustration: Fig. 11.] Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in Fig. 9 _aa_{1}_ = _a_{2}'_a = _a_{2}_a. Es gibt also in Fig. 10 die Strecke _a_{2}_a den Abstand des Punktes von der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in _a_{1}_ eine Senkrechte zur Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch _a_{2}a_ gegeben ist. Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im Raume annimmt. In den Figuren 9 und 10 ist noch ein zweiter Punkt _b_ eingetragen. In Fig. 11 sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich gezeichnet, von dem die Fig. 8 die Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »+Schräg+bilder« oder »+Parallelprojektionen+«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in dieser Sammlung. Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen Bildern beschäftigen. Der perspektivische Entwurf. § 3. Die Schnittmethode. =8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß.= Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: ~a~) die Bildtafel (Zeichenebene); ~b~) das Auge _O_; ~c~) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches Beispiel. =Aufgabe 1.= Ein Würfel ist gegeben in Grund- und Aufriß, ebenso das Auge _O_; man zeichne ein perspektivisches Bild des Würfels, wenn die Bildebene auf der Kante des Tafelsystems senkrecht steht. Die Bildebene Π gehe durch den Punkt _Z_ der Kante (Fig. 12) und enthalte die beiden Linien _ZX_ und _ZY_, welche in der Π_{1} und in der Π_{2} je senkrecht zur Kante _K_ gezogen werden können. Gleichzeitig ist _ZX_ der erste und _ZY_ der zweite Riß der Bildebene Π. Das Auge _O_ habe die Risse _O_{1}_ und _O_{2}_. Der abzubildende Würfel _abcdefgh_ liegt mit der Fläche _abcd_ auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang +wirklich+ durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke _e_ durch.[2] Wir verbinden _O_ mit _e_, dann ist _O_{1}e_{1}_ der erste Riß, _O_{2}e_{2}_ der zweite Riß dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von _Oe_ mit Π sei _e'_; der erste Riß von _e'_ kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von _O_{1}e_{1}_ mit _ZX_. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit _e_{1}'_. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes _e'_ der Schnittpunkt _e_{2}'_ von _O_{2}e_{2}_ mit der Linie _ZY_. Natürlich fallen alle ersten Risse unseres Bildes auf die Gerade _ZX_, alle zweiten auf _ZY_. [2] Wir raten dem Leser, alle Figuren stets nach den Angaben des Textes +selbst+ herzustellen. Es erleichtert das Verständnis ungemein, wenn man die Figur +allmählich+ entstehen sieht. [Illustration: Fig. 12.] Nun wollen wir aber doch das +Bild+ selbst in seiner wahrer Gestalt auf unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (_Z_) der Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (_Z_)(_X_) und (_Z_)(_Y_). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der Π_{2} gelegene Senkrechte _(Z)(Y)_ so lange, bis sie mit der Π_{2} sich deckt. Verfolgen wir den Punkt _e'_ bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (_Y_)(_Z_)(_X_) wird _e_{1}'_ eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch _e_{1}'_ eine Parallele zur Kante _K_, so schneidet diese die Linie (_Z_)(_X_) in (_e_{1}'_). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (_e_{1}'_) einen Viertelskreis um (_Z_) und gelangt nach _e_{1}^*_. Dann liegt aber der Punkt _e'_ auf der Senkrechten, welche in _e_{1}^*_ zur Kante gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher _e'_ über der Π_{1} liegt, ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch _Ze_{2}'_ gegeben. Tragen wir also auf der in _e_{1}^*_ errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen wir durch _e_{2}'_ eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der Senkrechten in _e_{1}^*_ den Punkt _e'_ aus. Bequemer ist es, einfach (_Z_)_e_{1}^*_ = _Ze_{1}'_ mit dem Zirkel auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in _e_{1}^*_ dann weiter _e_{1}^*e'_ = _Ze_{2}'_ abzuschneiden. Man kann dazu auch noch Fig. 1 vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π_{1} angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch _K_ und _AY_. Vom Punkte _e'_ sind die Risse _e_{1}_ und _e_{2}_ eingetragen. Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen Ecken und erhält so das Bild _a'b'c'd'e'f'g'h'_ des Würfels. Um die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge zunächst die Kanten _bc_, _cg_, _gf_, _fb_ ferner _gh_, _he_, _ef_. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten _cd_, _da_, _ab_, _dh_, _he_, _ea_ werden dem in _O_ befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«. Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser Bild _b'c'g'h'e'f'_ zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem Zentrum _O_ aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine Parallele durch _O_{1}_ zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch _O_{2}_ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in Fig. 1 eingetragen ist, heiße ~A~. Die Risse ~A_{1}~ und ~A_{2}~ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen mit _ZX_ bzw. _ZY_. Daraus finden wir die Lage von ~A~ wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch ~A_{1}~ und (_Z_)(_X_) zum Schnitt bringen in (~A_{1}~), dann durch einen Viertelskreis (_Z_)~A_{1}^*~ = (_Z_)(~A_{1}~) machen. Auf der in ~A_{1}^*~ errichteten Senkrechten schneidet die Parallele durch ~A_{2}~ wieder den Punkt ~A~ aus. Jetzt wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in ~A~ zur Zeichenebene gedacht werden kann. [Illustration: Fig. 13.] Weiter gibt nun aber die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder auch _O_{2}_~A_{2}~ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten in ~A~ zur Ebene des Blattes uns das Auge _O_ denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 ~cm~ von unserem Auge entfernt halten müssen. Man nennt den Punkt ~A~ den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« _O_; die Entfernung _O_~A~ des Projektionszentrums _O_ von der Bildebene, also die Strecke _O_{1}_~A_{1}~ oder _O_{2}_~A_{2}~ heißt die »Distanz«. [Illustration: Abb. 2. Methode der mech. Konstruktion einer Perspektive mittels des Reileschen Apparates.] =9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive.= Geht man vom Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die +Höhe+ ermittelt, in der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das Auge _O_ parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die »+Horizontebene+« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden _hh_, welche durch den Hauptpunkt ~A~ geht und der »+Horizont+« genannt wird (Fig. 13). Es sei nun ein Punkt _a_ gegeben, der von _O_ aus gerechnet +vor+ der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene Π_{1} in der Geraden _gg_ schneidet. Dann können wir das Bild _a'_ wieder in folgender Weise bestimmen. Die von _a_ auf Π_{1} gefällte Senkrechte trifft Π_{1} im Risse _a_{1}_, die Horizontebene dagegen im Punkte (_a_{1}_). Verbinden wir _O_{1}_ mit _a_{1}_, so ist dies der Riß des Sehstrahles _Oa_. _O_{1}a_{1}_ trifft die Gerade (_gg_) in _a_{1}'_, und auf der in _a_{1}'_ gelegenen Senkrechten liegt das Bild _a'_. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (_a'_), so ist die Linie _O_(_a'_) parallel zu _O_{1}a_{1}'_, und zur Berechnung der Höhe _a'_(_a'_) kann die Proportion dienen: _a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_(_a'_)/_O_(_a_{1}_). Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch _O_{1}a_{1}'_ : _O_{1}a_{1}_ ersetzt werden. Zieht man ferner durch _a_{1}_ eine Parallele zu _gg_, welche _O_{1}_~A_{1}~ in _X_ trifft, so wird dies Verhältnis auch durch _O_{1}_~A_{1}~ : _O_{1}X_ gegeben, so daß man schließlich erhält (1) _a'_(_a'_)/_a_(_a_{1}_) = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_. Die Strecke _a_(_a_{1}_) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont. Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II gegeben und ist die Bildebene um _gg_ in die Grundrißebene umgeklappt, so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe _a'_(_a'_) ermitteln. Man zieht durch den Riß _a_{1}_ eine Parallele zu _hh_, welche auf _O_{1}_~A_{1}~ den Punkt _X_ liefert. Auf dieser Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von _a_ über dem +Horizont+ liegt, macht also _XY_ = _a_{2}a_{h}_, wo _a_{2}a_{h}_ aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt _Y_ mit _O_{1}_, so schneidet diese Linie aus _gg_ den Punkt _B_{1}_ aus, und es gilt nun die Proportion: (2) _B_{1}_~A_{1}~/_XY_ = _O_{1}_~A_{1}~/_O_{1}X_. Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten einander gleich sein, und da _XY_ = _a_{2}a_{h}_ = _a_(_a_{1}_), so ist _B_{1}_~A_{1}~ = _a'_(_a'_). In _B_{1}_~A_{1}~ ist mithin die Höhe des Bildes von _a_ über dem Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch _a_{1}_ mit _O_{1}_, so liefert diese Linie auf _gg_ den Punkt _a_{1}'_. Auf dem in _a_{1}'_ errichteten Lote liegt _a'_ und wird erhalten, wenn man vom Horizont aus _B_{1}_~A_{1}~ anträgt, also (_a'_)_a'_ = _B_{1}_~A_{1}~ macht. Herr Kunstmaler Adolf +Reile+ in Stuttgart hat in der Zeitschrift für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen _L_ und _R_ sind durch ein Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der Geraden _gg_ geführt, indem die Reißschiene _R_ an der oberen Kante _AD_ des Reißbrettes _ABCD_ hingleitet. Die Reißschiene _L_ geht immer durch _O_{1}_ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch eine Stecknadel in _O_{1}_ festgehalten ist, während die Schiene _L_ durch die Hülse hindurchgleitet. Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine gewöhnliche Reißschiene _R'_ durch _a_{1}_, bestimmt durch Abgreifen mit dem Zirkel _Y_ und verschiebt sodann _L_ so lange, bis es durch _Y_ geht. Die Kuppelung befindet sich nun in _B_{1}_, und die Schiene _R_ bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke ~A~_B_ = ~A_{1}~_B_{1}_. Legt man endlich _L_ durch _a_{1}_, so gibt die Schiene _R_ das Lot in _a_{1}'_, und längs derselben kann ~A~_B_ angetragen werden. Da das Objekt bei der in Abb. 2 gemachten Annahme +vor+ der Bildebene liegt, so wird es durch die Perspektive vergrößert. Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt Perspektiven mechanisch herstellen; so haben +G. Hauck+ und +E. Brauer+ einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782. Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als die »+Schnittmethode+« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in Fig. 12 die vier Linien _b'a'_, _c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ hinreichend verlängert durch +einen+ Punkt, nämlich durch ~A~, und es leuchtet ohne weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen, der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert. § 4. Der Satz vom Fluchtpunkt. =10. Der Fluchtpunkt einer Geraden.= Wir erinnern zunächst an folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade, welche diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in dieser Ebene.« Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch folgende andere Fassung geben: »Ist eine Gerade _G_ gegeben und ein Punkt _O_ (Fig. 14) und verbindet man den Punkt _O_ mit beliebigen Punkten _a_, _b_, ... von _G_, so liegen alle diese Verbindungslinien in +einer+ Ebene, und dieser Ebene gehört auch die Gerade _J_ an, welche durch _O_ parallel zu _G_ gezogen werden kann.« Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge _O_; es soll das perspektivische Bild der Geraden _G_ gezeichnet werden. Dieses Bild _G'_ erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte _a_, _b_, _c_, ... von _G_ aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen _Oa_, _Ob_, _Oc_, ... mit Π zum Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte _a'_, _b'_, _c'_ ... liegen dann aber auf der Geraden _G'_, in welcher die Ebene der Projektionsstrahlen _Oa_, _Ob_, _Oc_, ... die Tafel Π durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun nach dem obigen Satze auch der Strahl _J_, der durch _O_ parallel zu _G_ gezogen werden kann. Trifft er in _f_ die Tafel, so muß also _G'_ auch durch _f_ gehen. Die Gerade _G_ schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte _s_; er heißt die »Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf _G'_ gelegen sein. [Illustration: Fig. 14.] Der Punkt _f_ dagegen heißt der »+Fluchtpunkt+« oder die »+Flucht+« oder auch der »+Verschwindungspunkt der Geraden _G_+«. Diese sehr treffende Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir einen Punkt sich auf der Geraden _G_ von der Spur _s_ aus nach links immer weiter und weiter fortbewegen, so daß er die Lagen _a_, _b_, _c_, ... annimmt, so werden sich die Bilder _a'_, _b'_, _c'_ ... dem Fluchtpunkt _f_ mehr und mehr nähern. Ist der Punkt auf der Geraden _G_ schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des Punktes ziemlich nahe an _f_ liegen. Aber allerdings gibt es keinen erreichbaren Punkt auf _G_, dessen Bild wirklich nach _f_ fiele. Denkt man sich die Gerade _G_ als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne Stange aus Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein in _O_ angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in _f_ erscheinen, die Gerade »verschwindet« in _f_. Das Bild G' läuft verlängert durch den Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach _f_. Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu konstruieren ist: =Satz 7.= +Der Fluchtpunkt einer Geraden wird erhalten, wenn man durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zieht. Der Schnittpunkt dieser Parallelen mit der Tafel (die Spur dieses Parallelstrahles) ist der Fluchtpunkt der Geraden.+ Das Bild _G'_ wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur _s_ und die Flucht _f_ dar. Man kann also sagen: =Satz 8.= +Das Bild einer Geraden ist die Verbindungslinie ihrer Spur und ihres Fluchtpunktes.+ Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir Fig. 12. Wählen wir die Kante _ab_ des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir durch _O_ die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel _ZXY_ senkrecht steht, so ist diese Parallele die Linie _O_~A~ und ~A~ ist der Fluchtpunkt. Es geht also in dem perspektivischen Bilde rechts oben _a'b'_ verlängert durch ~A~. =11. Der Satz vom Fluchtpunkt.= Denken wir uns nun (Fig. 14) eine zweite Gerade _H_ gegeben, welche zu _G_ parallel sein soll. Die Spur von _H_ sei der Punkt _s'_. Dann weiß man, daß die Linie _J_ oder _Of_ auch parallel zu _H_, und dies besagt doch nichts anderes, als daß _f_ auch der Fluchtpunkt der Geraden _H_ sein muß. Das perspektivische Bild _H'_ der Geraden _H_ läuft folglich durch _f_ und durch _s'_. Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche zu _G_ parallel ist, _f_ der Fluchtpunkt. Die Bilder _G'_ und _H'_ der parallelen Geraden _G_ und _H_ laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt _f_ zusammen. Damit erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen Zeichnung beherrschenden =Satz 9.= +Sind eine Anzahl paralleler Geraden im Raume gegeben, so sind die perspektivischen Bilder dieser Geraden nicht parallel, sondern sie laufen+, =hinreichend verlängert=, +durch einen Punkt, den gemeinsamen Fluchtpunkt der parallelen Geraden+. [Illustration: Fig. 15.] Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion nach Satz 3 (S. 7) parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben, die wieder +parallel+ sind. Die Figur 12 liefert uns auch sofort ein Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten _ba_, _cd_, _gh_, _fe_, so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. ~A~ ist offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder _b'a'_, _c'd'_, _g'h'_, _f'e'_ laufen demnach verlängert durch ~A~. Eine aufmerksame Betrachtung der Fig. 12 kann uns übrigens darüber belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder parallel sind. So sind die vier Geraden _bc_, _ad_, _eh_, _fg_ offenbar im Raume parallel, und ihre Bilder _b'c'_, _a'd'_, _e'h'_, _f'g'_ sind ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten _ae_, _bf_, _cg_, _dh_. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen, eine Gerade _G_, welche zur Bildebene Π parallel ist (Fig. 15). Das Bild _G'_ derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen Punkten von _G_ die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild _G'_ aus. Wenn wir nun angenommen haben, daß die Gerade _G_ zur Bildtafel Π parallel ist, so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade _G_ kann also auch _G'_ nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist _G_ parallel _G'_. Ist nun _H_ eine zweite zu _G_ parallele Gerade, so folgt ganz in der gleichen Weise, daß auch _H_ parallel zu _H'_ ist, und daraus folgert man sofort, daß auch _G'_ parallel _H'_ ist. Diese beiden parallelen Geraden _G_ und _H_ haben also parallele Bilder _G'_ und _H'_. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes aussprechen als =Satz 10.= »+Parallele Geraden, welche überdies zur Bildebene parallel laufen, haben auch parallele, perspektivische Bilder; die Bilder solcher Geraden sind zu den Geraden selbst parallel.+« [Illustration: Fig. 16.] =12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt.= Der Begriff der Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem bestimmten, im Auge gelegenen Punkte _o_ auf die Netzhaut projiziert. In Fig. 16 ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile _ab_ und _cd_ gewählt. _o_ ist das Zentrum, und die von _o_ nach den Punkten _a_, _b_, _c_, _d_ gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den Punkten _a'_, _b'_, _c'_, _d'_. So entstehen die Bildchen _a'b'_ und _c'd'_. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten. Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche auf verschiedenen Seiten des Zentrums _o_. Das letztere äußert sich dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. So sind z. B. die Pfeilspitzen _a'_, _c'_ unten gelegen. Mit dem Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter durch _o_ die Parallele zu _ab_ gezogen, so schneidet diese die Netzhaut in einem Punkte _f_, den wir als den Fluchtpunkt aller zu _ab_ parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil _ab_ ist, desto mehr strebt das Bildchen _a'b'_ dem Punkte _f_ zu. Die beiden Bilder _a'b'_ und _c'd'_ laufen verlängert durch _f_, und diese Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun parallel, da wir Strahlen, die von +einem+ Punkte der Sonne ausgehen, als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben. So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt. § 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes. [Illustration: Fig. 17.] =13. Die festen Elemente.= Wir wollen nun einen anderen Weg einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen. Die Figuren 17 und 18 geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden Gebilde. Die Grundebene Π_{1} wird die Tafel Π in einer Geraden _gg_ schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen Auge _O_ fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt ~A~ ist. Da die Linie _O_~A~ demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch _O_~A~ eine Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene schneidet aus der Tafel eine Linie _hh_ aus, welche parallel zur Grundlinie _gg_ sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt. Endlich tragen wir noch die Distanz _O_~A~ vom Augpunkt aus nach beiden Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~ erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also ~AD_{1}~ = ~A~_O_ = ~AD_{2}~, so sind die Dreiecke ~D_{1}~_O_~A~ und ~D_{2}~_O_~A~ beide gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ ~AD_{1}~_O_ = ∢ ~AD_{2}~_O_ = 45°. In der Zeichenebene geben wir uns also (Fig. 19) zwei parallele Linien _hh_ und _gg_ und auf der oberen den Punkt ~A~ sowie im gleichen Abstande rechts und links die Punkte ~D_{1}~ und ~D_{2}~. Die Lage des Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die wir uns im Punkte ~A~ zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in einem Abstande von ~A~, der gleich ~AD_{1}~ oder ~AD_{2}~ ist. Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade _T_ liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte Gerade _T_ eine »+Tiefenlinie+« (Fig. 18 oben). Die durch das Auge _O_ zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der Strahl _O_~A~, und folglich ist nach Satz 7 ~A~ ihr Fluchtpunkt. Damit haben wir aber bewiesen: =Satz 11.= »+Der Augpunkt A ist der Fluchtpunkt für alle Tiefenlinien, d. h. die Bilder aller Tiefenlinien gehen verlängert durch den Augpunkt+.« Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im Bilde fehlende dritte Dimension fest. Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π_{1} gegeben und außerhalb derselben ein Punkt _O_, so gibt es durch _O_ nur +eine+ Ebene, welche zu Π_{1} parallel ist.« Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: »Zieht man in der Ebene Π_{1} +irgend+welche Gerade und zeichnet durch _O_ die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in einer Ebene, eben in der Parallelebene durch _O_ zu Π_{1}.« Ist also _G_ irgendeine Gerade der Grundebene (Fig. 17) und ziehen wir zu ihr durch _O_ die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der Schnittpunkt _f_ der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf _hh_ gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden _G_; mit anderen Worten: =Satz 12.= +Alle in der Grundebene gelegenen Geraden haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizonte.+ ~A~ ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie _gg_ senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen wir ferner in der Grundebene ein Quadrat _abcd_ (Fig. 18), das mit einer Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien _ac_ und _bd_, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie Winkel von 45° ein. Man vgl. auch Fig. 19, in welcher unten das Quadrat (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber klar, daß die Linie _OD_{1}_ parallel zu _bd_ und _OD_{2}_ parallel zu _ac_; _D_{1}_ und _D_{2}_ sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der Grundebene d. h. =Satz 13.= »+Alle Linien der Grundebene, welche mit der Grundlinie den Winkel von 45° nach der einen oder anderen Seite einschließen, haben die Distanzpunkte bzw. zu Fluchtpunkten.+« [Illustration: Fig. 18.] Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen lernen. Ist _d_ ein Punkt in der Grundebene, _d'_ sein Bild, also der Schnittpunkt des Sehstrahles _Od_ mit Π (Fig. 18), so wollen wir uns vorstellen, daß der Punkt _d_ weiter und weiter nach links in der Grundebene hinausrückt. Dann wird das Bild _d'_ offenbar immer höher in der Bildtafel hinaufrücken, da sich der Strahl _Od_ mehr und mehr aufrichtet. Ist _d_ sehr weit entfernt in der Grundebene angenommen, so wird das Bild _d'_ dem Horizont _hh_ schon sehr nahe liegen. Wir gewinnen daraus folgende Deutung für den Horizont: =Satz 14.= »+Punkte, die sehr weit entfernt in der Grundebene liegen, haben Bilder, die nahezu in den Horizont fallen.+« Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres. Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine weit ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie gegen den Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes (vgl. Fig. 50). Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum sich die Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer sich aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit ausgedehnten horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen. § 6. Darstellung eines möglichst einfach gelegenen Quadrates der Grundebene. Anwendungen dieser Konstruktion. Tiefenmaßstab. =14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene.= Unter Benutzung der so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie hereinbringen. +Eine+ Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der beiden Pfeile (Fig. 17, 18) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die (gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (_g_)(_g_) annimmt (Fig. 19); irgendein Punkt _a_ der Grundlinie beschreibt dabei die lotrechte Linie _a_(_a_), wenn wir mit (_a_) die Lage des Punktes _a_ nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung _a_(_a_) zwischen _gg_ und (_g_)(_g_) ist ganz willkürlich und richtet sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur. [Illustration: Fig. 19.] Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende =Aufgabe 2.= In der Grundebene ist ein Quadrat gegeben, von dem eine Seite _ab_ in der Grundlinie liegt. Das Bild des Quadrates zu zeichnen. Die Lage des gegebenen Quadrates _abcd_ veranschaulicht Fig. 18. In der wirklichen Ausführung (Fig. 19) geben wir uns den Horizont _hh_ mit dem Augenpunkt ~A~ und den beiden Distanzpunkten, ~D_{1}~ und ~D_{2}~, dazu parallel die Grundlinie _gg_ mit den beiden Ecken _a_ und _b_ des Quadrates. Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (_g_)(_g_) und bestimmen vermittels der Vertikalen durch _a_ und _b_ die Lage (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten _ad_ und _bd_ Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also nach Satz 11 durch ~A~ gehen; die Punkte _a_ und _b_ sind aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in _a_~A~ und _b_~A~ die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten _ad_ und _bc_ liegen, und die Bilder _d'_ und _c'_ müssen bzw. auf _a_~A~ und _b_~A~ gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale _db_ konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (_d_)(_b_) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach Satz 13 ist also ~D_{1}~ der Fluchtpunkt dieser Geraden, _b_ aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden _db_ die Verbindungslinie _b_~D_{1}~. Das Bild _d'_ muß demnach sowohl auf _a_~A~ als auch auf _b_~D_{1}~ liegen, kann also nur der Schnittpunkt _d'_ dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild _c'_ der Ecke _c_ als Schnittpunkt von _a_~D_{2}~ und _b_~A~. Das folgt sofort aus der Betrachtung der anderen Diagonale _ac_. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus, daß _c'd'_ von selbst parallel _gg_ sein muß. Denn die Quadratseite _cd_ ist ja parallel zur Tafel, also nach Satz 10 _cd_ ∥ _c'd'_.[3] Da aber _cd_ ∥ _ab_, so ist auch _c'd'_ ∥ _ab_. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes _abc'd'_ gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf S. 14 unten erinnert. [3] ∥ ist das Zeichen für parallel. =Aufgabe 3.= Einen in der Grundebene gelegenen quadratisch getäfelten Fußboden zu zeichnen. Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in Fig. 19 in der Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (_a_)(_b_)(_c_)(_d_) schließt sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion Fig. 19 ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (_e_)(_f_), fliehen im Bilde alle nach ~A~. Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach ~D_{1}~ und ~D_{2}~ laufen. In der Fig. 19 sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der Quadratbilder nach ~D_{1}~ oder ~D_{2}~ gehen, und außerdem je zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die Figur zahllose Kontrollen. =15. Anwendungen dieser Aufgabe.= Man würde aber irren, wollte man diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in Abbildung 3 das Abendmahl des Altniederländers +Dirk Bouts+ (1410(?)--1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben. [Illustration: Abb. 3.] Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, in Perspektive gesetzt werden soll (Fig. 20). Wir legen über die Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu benutzen ist. [Illustration: Fig. 20.] =Aufgabe 4.= Ein Punkt _p_ in der Grundebene ist gegeben; sein Bild zu zeichnen. Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die Aufgabe 1 zurück, indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in _p_ liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in Fig. 18 und 19 etwa die Ecke _d_ als den gegebenen Punkt denken. Wir wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu zeichnen. Der Punkt _p_ ist in Fig. 21 ~a~ in der Verschiebung (_p_) gegeben, Wir zeichnen durch (_p_) die lotrechte Tiefenlinie (_T_), welche die durch _p_ gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist _t_, ihr Fluchtpunkt ~A~, so daß also ihr Bild _T'_ diese beiden Punkte verbindet; auf _T'_ muß jedenfalls das gesuchte Bild _p'_ gelegen sein. [Illustration: Fig. 21 ~a~.] Um einen zweiten Ort für _p'_ zu erhalten, ziehen wir durch (_p_) eine Linie (_D_) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie (_g_)(_g_) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (_D_) schneidet (_g_)(_g_) in (_s_), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in _s_ die Spur der Hilfslinie _D_. Da ferner _D_{1}_ ihr Fluchtpunkt ist, so wird _D'_ den Punkt _s_ mit _D_{1}_ verbinden. Das gesuchte Bild _p'_ muß also auch auf _D'_ liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt von _T'_ und _D'_ sein. [Illustration: Fig. 21 ~b~.] Wir hätten durch (_p_) noch eine zweite Linie nach links ziehen können, welche auch einen Winkel von 45° mit (_g_)(_g_) einschließt. Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von ~A~ gelegenen Distanzpunkt ~D_{2}~ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen und wären zu dem gleichen Punkte _p'_ gelangt. Die Konstruktion ist ebenfalls in Figur 21 ~a~ eingetragen. Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen. Da (_p_)(_t_) = (_s_)(_t_) = _st_, so ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 21 ~b~): Man trägt von der Spur _t_ aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach +rechts+ als _ts_ auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt _s_ mit dem +linken+ Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf der Hauptlinie _T'_ den gesuchten Punkt _p'_ aus. Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann auch in folgender Weise formulieren: Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine Zahl gegebenen Abstand hat. =Aufgabe 5.= Auf einer gegebenen Tiefenlinie einen Maßstab zu zeichnen, dessen Einheit gegeben ist. Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in Fig. 21 ~b~ durchgeführte Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen (Fig. 22) die geg. Teilung von der Spur _t_ der geg. Tiefenlinie _T_ aus nach +rechts+ auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken Distanzpunkt ~D_{1}~, so schneiden diese Linien auf _T'_ die gesuchten Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog. +Tiefenmaßstabes+ gewonnen. [Illustration: Fig. 22.] Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus ~D_{1}~ projiziert, die richtigen Bilder. § 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene. =16. Bild einer beliebigen Geraden.= Um nun eine irgendwie aus Geraden zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur =Aufgabe 6.= Eine beliebige Gerade A der Grundebene ist gegeben; ihr Bild zu zeichnen. [Illustration: Fig. 23.] Die Flucht der Geraden ergibt sich nach Satz 7, indem wir durch das Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel zum Schnitt bringen. Ist _f_{a}_ dieser Schnittpunkt, so ist (Fig. 23) _Of_{a}_ ∥ _A_ und _f_{a}_ liegt natürlich auf dem Horizont _hh_. Wir ziehen noch durch das Auge _O_ eine Parallele _ii_ zum Horizont. Die Gerade _A_ wird mit der Grundlinie _gg_ einen gewissen Winkel α einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl _Of_{a}_ mit der Linie _ii_ den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene durch _O_ nach +unten+ in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel zusammenfällt. Der Pfeil in der Figur 23 deutet diese Drehung an. Die Linie _O_~A~ bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch ~A~, so gibt diese die Lage, welche der Strahl _O_~A~ nach Ausführung der Drehung annimmt. Der Punkt _O_ endlich geht nach Beendigung der Drehung in einen Punkt ~D_{3}~ über, der auf dieser lotrechten Linie durch ~A~ so liegt, daß die Strecke ~AD_{3}~ = _O_~A~ = der Distanz. Die Parallele _ii_ geht über in die Linie _ll_, welche durch ~D_{3}~ parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie ~D_{3}~_f_{a}_ bildet mit der Linie _ll_ wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen wir an Fig. 24, welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade _A_ ist in der Verschiebung durch (_A_) gegeben. Im Augpunkte ~A~ errichten wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab, wodurch wir ~D_{3}~ erhalten. Es ist also ~AD_{1}~ = ~AD_{2}~ = ~AD_{3}~. Durch ~D_{3}~ ziehen wir die Parallele _ll_ zum Horizont. Tragen wir an diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den Fluchtpunkt _f_{a}_ auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar ~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch ~D_{3}~ eine Parallele zu (_A_) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt _f_{a}_ von _A_ aus. Die Verbindungslinie der Spur _a_ mit _f_{a}_ gibt das Bild _A'_ der Geraden _A_. [Illustration: Fig. 24.] Nennen wir ~D_{3}~ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten »umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel: Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das umgelegte Auge ~D_{3}~ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den Fluchtpunkt der Geraden. [Illustration: Fig. 25.] Die Figur 24 liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende =Aufgabe 7.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein Bild _p'_ gegeben; durch _p_ soll in der Grundebene eine Gerade gezogen werden, welche unter einem Winkel von 60° gegen die Grundlinie geneigt ist. Das Bild dieser Geraden zu zeichnen. Tragen wir (Fig. 25) an die Horizontale durch ~D_{3}~ einen Winkel von 60° an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den Fluchtpunkt _f_ der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen Punkt _p'_ mit _f_, so ist diese Linie das verlangte Bild. Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel auch von der linken Seite der Parallelen _ll_ aus antragen kann. Zu jedem Punkte des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von Geraden; speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon wissen, die Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt wird. In der Figur sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren Punkten des Horizontes die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie gehören. =17. Winkel zweier Geraden.= Sind zwei Gerade _A_ und _B_ der Grundebene gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_, so daß also (Fig. 26) _Of_{a}_ ∥ _A_ und _Of_{b}_ ∥ _B_. Bezeichnen wir den Winkel, den _A_ und _B_ einschließen, mit γ, so erkennt man sofort, daß auch ∢ _f_{a}Of_{b}_ = γ ist. Klappen wir wiederum die durch das Auge _O_ gehende Horizontebene nach unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt _O_ nach ~D_{3}~ kommt, so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem ∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ oder in Worten ausgedrückt: =Satz 15.= +Irgend zwei Gerade der Grundebene schließen den gleichen Winkel ein wie die Sehstrahlen, die vom Auge nach ihren Fluchtpunkten gehen, und auch wie die Strahlen, welche von der »Umlegung« des Auges nach ihren Fluchtpunkten laufen.+ [Illustration: Fig. 26.] Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen ihn noch durch die Fig. 27, welche die wirkliche Konstruktion gibt. Hier sind die beiden Geraden _A_ und _B_ in der Verschiebung (_A_) und (_B_) gegeben. Im Hauptpunkte ~A~ ist eine Senkrechte zum Horizont angetragen und auf ihr die Umlegung ~D_{3}~ des Auges ermittelt, in dem ~AD_{3}~ = ~AD_{1}~ = ~A{D_{2}}~ gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden Betrachtung, daß ~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) und ~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_). Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ _f_{a}_~D_{3}~_f_{b}_ = γ. Die Praktiker drücken dies so aus: »Am Punkte ~D_{3}~ kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen werden.« In der Figur wurden noch die Spuren _a_ und _b_ der beiden Geraden konstruiert, so daß dann _A'_ und _B'_ sich je als die Verbindungslinie von Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von _A'_ und _B'_ ist das Bild des Scheitels _p_. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen (_A_) und (_B_) sich in den schraffierten Teil zwischen _A'_ und _B'_ abbildet. Eine zweite Anwendung gibt =Aufgabe 8.= Ein in der Grundebene liegendes Rechteck ist in der Verschiebung (_p_)(_q_)(_r_)(_s_) gegeben; dessen Bild zu zeichnen. Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (_A_) und (_A_{1}_), sowie (_B_) und (_B_{1}_) (Fig. 28). Wir zeichnen zunächst die Fluchtpunkte dieser beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir durch die Umlegung ~D_{3}~ des Auges die Parallelen zu (_A_) und (_B_); diese schneiden die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizonte aus. Es ist also ~D_{3}~_f_{a}_ ∥ (_A_) ∥ (_A_{1}_) und ~D_{3}~_f_{b}_ ∥ (_B_) ∥ (_B_{1}_). Jetzt zeichnen wir die Bilder _q'_ und _s'_ der beiden Ecken _q_ und _s_ nach Aufgabe 4, indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45° geneigte Linie benutzen. _q'_ liefert mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden die Bilder _A'_ und _B'_, _s'_ mit _f_{a}_ und _f_{b}_ verbunden _A_{1}'_ und _B_{1}'_. Die letzten Ecken _r'_ und _p'_ ergeben sich als die Schnittpunkte von _A_{1}'_ mit _B'_ und _A'_ mit _B_{1}'_. [Illustration: Fig. 27.] Das Bild _p'q'r's'_ hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich die gegenüberliegenden Seiten _A'_ und _A_{1}'_ sowie _B'_ und _B_{1}'_ verlängert je in _f_{a}_ und _f_{b}_ auf dem Horizont schneiden. Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn man die Tiefenlinien durch _r_ und _p_ zieht oder die Spuren der Rechtecksseiten benutzt, wie das in der Figur für die Seite _rq_ angegeben ist. [Illustration: Fig. 28.] =18. Umlegung der Horizontebene nach oben=. Unter Umständen kann es bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die Bildtafel Π hereinzuklappen (Fig. 26). Dann fällt der Punkt _O_ auf die Verlängerung der Linie ~AD_{3}~ über ~A~ hinaus nach einem Punkte ~D₄~, wenn wieder ~AD₄~ = der Distanz gemacht wird. In Fig. 27 ist auch diese Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel _f_{a}D₄f_{b}_ auch jetzt wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden _A_ und _B_, so daß ∢ _f_{a}_~D₄~_f_{b}_ = γ, und auch an dem Punkte ~D₄~ dürfen alle Winkel in wahrer Größe angetragen werden. [Illustration: Fig. 29.] Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt +nicht+ mehr (_A_) ∥ ~D₄~_f_{a}_ und +nicht+ mehr (_B_) ∥ ~D₄~_f_{b}_. +Diese+ Eigenschaft der parallelen Lage ist nur erfüllt bei der Drehung nach unten. Das hängt damit zusammen, daß wir auch die Grundebene im gleichen Sinne gedreht haben. Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so kann man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn man oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende Aufgabe gibt davon eine Anwendung. =Aufgabe 9.= Gegeben sind eine Gerade _A_ der Grundebene und ein Punkt _p_ auf ihr durch ihre Bilder _A'_ und _p'_. Man zeichne das Bild einer Geraden _B_ der Grundebene, welche in _p_ auf _A_ senkrecht steht. Bringen wir das gegebene Bild _A'_ mit dem Horizont zum Schnitt (Fig. 29), so ist der Schnittpunkt _f_{a}_ der Fluchtpunkt der Geraden _A_. Im Augpunkt ~A~ errichten wir eine Senkrechte zum Horizont _hh_ und machen diese = der Distanz, so daß also ~AD₄~ = ~AD_{1}~ = ~AD_{2}~. ~D₄~ ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir ~D₄~ mit _f_{a}_ und errichten in ~D₄~ zu _f_{a}_~D₄~ ein Lot, so schneidet dieses aus dem Horizont einen Punkt _f_{b}_ aus, der der Fluchtpunkt aller auf der Geraden _A_ senkrechten Geraden ist. Die gesuchte Senkrechte soll aber durch _p_ gehen, ihr Bild _B'_ ist demnach die Verbindungslinie von _p'_ mit _f_{b}_. _f_{a}p'f_{b}_ ist also das Bild eines horizontalen rechten Winkels. =19. Getrennte Lage des Grundrisses.= Wir haben bisher immer angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in der Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h. durch die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in Fig. 30 ~a~ ein Rechteck 1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse ~A_{1}~ und _O_{1}_ von ~A~ und _O_ bekannt. In der zweiten Figur 30 ~b~ ist der Horizont _hh_ mit ~A~ sowie die Grundlinie _gg_ gegeben. Verlangt wird das Bild des Rechteckes zu zeichnen. Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft liefert ein Blick auf Fig. 26. Der durch das Auge _O_ zur Geraden _A_ der Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt _f_{a}_ auf dem Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der durch _O_{1}_ gehen muß, sowie durch die Projektion _f_{a_{1}}_ des Fluchtpunktes _f_{a}_, und weiter muß dieser Riß parallel zu _A_ sein, also _O_{1}f_{a_{1}}_ ∥ _A_. [Illustration: Fig. 30 ~a~.] Zieht man demnach umgekehrt durch _O_{1}_ Parallele zu den Seiten des Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie _gg_ die Projektionen _f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ der Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ aus. Da nun die Grundlinie mit ihren Punkten in den beiden Figuren vorkommt, so haben wir nur die Strecken ~A_{1}~_f_{a_{1}}_ und ~A_{1}~_f_{b_{1}}_ auch in Fig. 30 ~b~ anzutragen. Dann liefern die in _f_{a_{1}}_ und _f_{b_{1}}_ errichteten Lote zu _gg_ auf dem Horizont die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_. Überträgt man noch weiter die Spuren der Rechtecksseiten in die Fig. 30 ~b~, so ist das Bild 1'2'3'4' des Rechtecks leicht fertig zu stellen. [Illustration: Fig. 30 ~b~.] =20. Horizontale Gerade.= Die bisherigen Ausführungen genügen vollständig, um jede in der Grundebene gegebene Figur in Perspektive zu setzen. Bevor wir aber dazu übergehen, Körper abzubilden, wollen wir vorher noch eine sehr wesentliche Verallgemeinerung der oben durchgeführten Betrachtungen besprechen. Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine +horizontale+ Gerade. In genauer Fassung werden wir sagen: »Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine horizontale Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer horizontalen Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber auch parallel zur Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und der Fluchtpunkt muß dem Horizont _hh_ angehören. [Illustration: Fig. 31.] Was die Lage einer horizontalen Geraden im Raume betrifft, so kann sie entweder +oberhalb+ oder +unterhalb+ der Horizontebene liegen oder in der Horizontebene. Der letztere Fall ist sofort erledigt. Denn jede Gerade der Horizontebene bildet sich in den Horizont ab. Liegt eine horizontale Gerade oberhalb der Horizontebene, wie z. B. die Gerade _A_ in Fig. 31, so muß ihre Spur _a_ oberhalb des Horizonts _hh_ gelegen sein; eine horizontale Gerade _B_ dagegen, welche unter der Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur _b_ unter dem Horizont. Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In Fig. 31 ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden _A_ und _B_ in der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß _A_{1}_ von _A_ mit dem Riß _B_{1}_ von _B_ sich deckt und die Spuren _a_ und _b_ auf einer lotrechten Linie sich befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade _A_, indem er von der Spur _a_ ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in der Richtung von der Bildtafel weg, so bewegt sich sein Bild auf _A'_ gegen den Fluchtpunkt _f_{a}_ hin. Die Linie _A'_ geht demnach, in der Richtung von _a_ nach _f_{a}_ durchlaufen, abwärts, oder sie »fällt«. Ebenso »steigt« die Linie _B'_, wenn sie in der Richtung gegen den Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt: =Satz 16.= »+Horizontale Gerade haben ihre Fluchtpunkte auf dem Horizont. Liegen die Geraden selbst oberhalb der Horizontebene, so ›fallen‹ ihre Bilder, wenn sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt hin durchlaufen werden; liegen sie unterhalb dieser Ebene, so ›steigen‹ ihre Bilder, wenn man sie in der Richtung nach dem Fluchtpunkt zu durchläuft.+« Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der Tiefenlinien, da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von besonderer Art sind. Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten Betrachtungen gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede +horizontale+ Gerade; speziell gilt Satz 15 für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene parallelen Ebene liegen. § 8. Darstellung einfacher Körper, die sich auf der Grundebene erheben. =21. Darstellung einer Pfeilerreihe, die nach der Tiefe geht.= Wenn wir jetzt dazu übergehen, Körper darzustellen, die sich auf der Grundebene befinden, so tritt als neue Dimension die auf der Grundebene lotrechte Richtung auf, also die Vertikale. Jede Ebene durch eine Vertikale heißt eine Vertikalebene. Setzen wir die Begrenzungsflächen des Körpers in Beziehung zur Bildtafel, so werden vor allem die Ebenen zu betrachten sein, welche auf der Bildtafel senkrecht stehen. Wir nennen sie »Tiefenebenen« und sehen, daß jede Ebene durch eine Tiefenlinie eine Tiefenebene ist. Enthält eine Tiefenebene eine Vertikale, so nennen wir sie eine vertikale oder auch eine lotrechte Tiefenebene. Es sei nun zu behandeln =Aufgabe 10=. Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer lotrechten Tiefenebene befindet. Wir versinnlichen jeden Pfeiler durch eine schlichte Gerade und nehmen an, daß der erste Pfeiler _ab_ +in der+ Bildebene gelegen ist (Fig. 32). Ferner sollen die Pfeiler in +gleichen+ Abständen aufeinanderfolgen, also _ac_ = _ce_ = _ei_ = _il_ = _ln_ = _np_ sein. Die Punkte _a_, _c_ ... _p_ liegen auf einer Tiefenlinie _A_ und ebenso die oberen Enden der Pfeiler _b_, _d_, _f_, _k_, _m_, _r_, _q_, auf einer zweiten Tiefenlinie _B_. Die Ebene durch _A_ und _B_ ist die lotrechte Tiefenebene, in der die Pfeilerreihe gelegen ist. [Illustration: Fig. 32.] In unserer zu zeichnenden Figur (Fig. 33) sind also gegeben der erste in der Bildebene liegende Pfeiler _ab_ sowie der Abstand _y_ zweier aufeinanderfolgender Pfeiler. Die Darstellung läßt sich nun leicht bewerkstelligen. Der Punkt _a_ mit dem Augpunkt ~A~ verbunden liefert das Bild _A'_ der Tiefenlinie _A_. Auf _A'_ ist nun ein Tiefenmaßstab zu zeichnen mit der Einheit _y_. Nach Aufgabe 5 führen wir dies aus, indem wir die gegebene Einheit _y_ von der Spur _a_ aus nach rechts auf der Grundlinie als 0.1, 1.2, 2.3 ... antragen und diese Punkte mit dem linken Distanzpunkt ~D_{1}~ verbinden. Die Schnittpunkte mit _A'_ geben die Bilder _c'_, _e'_, _i'_ ... der Pfeilerenden. [Illustration: Fig. 33.] Verbinden wir weiter _b_ mit ~A~, so ist diese Linie das Bild _B'_ der Tiefenlinie _B_, und auf _B'_ müssen die oberen Endpunkte der Pfeiler angeordnet sein. Die Geraden _ab_, _cd_ ... sind aber parallel zur Bildebene; nach Satz 10 sind also ihre Bilder auch parallel, und überdies muß beispielsweise _c'd'_ ∥ _cd_ sein usf.; die Bilder der Pfeiler sind also lotrechte Linien. Demnach haben wir lediglich durch die Punkte _c'_, _e'_, _i'_ usf. die Vertikalen zu zeichnen und diese durch die Schnittpunkte mit der Linie _B'_ zu begrenzen. So ergeben sich die Bilder _c'd'_, _e'f'_ ... Wir können in unserer Figur auch die Darstellung eines Staketenzaunes sehen oder einer Bretterwand, die aus gleichbreiten Brettern zusammengesetzt ist. Wir machen von der eben durchgeführten Konstruktion eine Anwendung zur Lösung folgender wichtiger =Aufgabe 11.= Ein Punkt _p_ der Grundebene ist durch sein Bild _p'_ gegeben; man zeichne das Bild einer Linie _pq_ von gegebener Länge, welche in _p_ senkrecht zur Grundebene angetragen wird. Es soll also mit anderen Worten in einem Punkte der Grundebene eine Senkrechte von gegebener Länge errichtet werden. Um zur Lösung zu gelangen, denken wir uns (Fig. 32) durch die Senkrechte _pq_ eine Tiefenebene gelegt und stellen uns eine Reihe von Pfeilern vor, welche die Höhe _pq_ haben und sich in dieser Ebene befinden. Anders ausgedrückt heißt das: wir ziehen durch _p_ und _q_ die Tiefenlinien _A_ und _B_, welche in _a_ und _b_ die Bildebene treffen. _ab_ ist der in der Tafel liegende Pfeiler. Daraus ergibt sich folgende durch ihre Einfachheit überraschende Konstruktion: Den gegebenen Punkt _p'_ verbinden wir mit ~A~ (Fig. 34) und erhalten dadurch das Bild _A'_, welches die Grundlinie _gg_ in _a_ trifft. In _a_ tragen wir die gegebene Höhe als _ab_ vertikal an. Der Endpunkt _b_ liefert mit ~A~ verbunden das Bild _B'_ der Tiefenlinie _B_. Ziehen wir endlich durch _p'_ die Vertikale, so schneidet sie auf _B'_ den Punkt _q'_ aus. _p'q'_ ist das Bild der gesuchten Senkrechten. [Illustration: Fig. 34.] Da man jeden beliebigen Punkt des Raumes sich bestimmen kann durch seinen rechtwinkligen Riß auf die Grundebene und durch den Abstand von der Grundebene, so können wir damit das Bild eines beliebigen Raumpunktes zeichnen und sind weiter imstande, jeden Körper, wenn auch umständlich, abzubilden, indem wir die Bilder seiner einzelnen Punkte ermitteln. Wir werden später Beispiele für die Anwendung dieser Konstruktion geben, wollen aber zunächst noch einige Folgerungen aus der Fig. 34 ziehen. Wir können dieselbe unmittelbar zur Lösung folgender neuen Aufgabe benutzen: Gegeben ist das Bild _p'q'_ einer Strecke _pq_, die im Punkte _p_ der Grundebene auf dieser senkrecht sich erhebt; man bestimme die wahre Länge _pq_ dieser Strecke. Wir verbinden _p'_ mit ~A~ und bringen diese Linie in _a_ mit der Grundlinie zum Schnitt; in _a_ errichten wir eine Vertikale und schneiden diese in _b_ mit der Verbindungslinie von ~A~ nach _q'_. Dann gibt _ab_ die wahre Länge der Strecke _pq_. Als eine weitere Anwendung behandeln wir =Aufgabe 12.= Auf einer lotrechten (vertikalen) Geraden einen Maßstab zu zeichnen. Höhenmaßstab. [Illustration: Fig. 35.] Denken wir uns auf der Lotrechten _pq_ von Fig. 32 die Einheit des Maßstabes wiederholt angetragen und ziehen wir durch die Teilpunkte die Tiefenlinien, so übertragen diese den Maßstab auf die Gerade _ab_, was in der Figur angedeutet ist. Die Bilder der Tiefenlinien sind aber sofort zu zeichnen. Wir erhalten also folgende Ausführung (Fig. 35). Gegeben ist das Bild _p'q'_ der Vertikalen, auf der mit der gegebenen Strecke _y_ als Einheit ein Maßstab gezeichnet werden soll, der in der Spur der Vertikalen beginnt. Wir verbinden den Punkt _p'_ mit dem Augpunkt ~A~ und erhalten dadurch den Punkt _a_ auf der Grundlinie. In _a_ errichten wir zur Grundlinie _gg_ die Senkrechte; auf dieser tragen wir von _a_ beginnend die Strecke _y_ ab, so daß also die Strecken 0.1, 1.2, 2.3 ... je = _y_. Verbinden wir die Punkte 1, 2, 3 ... mit ~A~, so schneiden diese Tiefenlinien auf _p'q'_ die gesuchten Punkte 1', 2', 3' ... aus. Aus bekannten Sätzen der Planimetrie folgt sofort, daß auch 0.1' = 1'.2' = 2'.3' = 3'.4'. [Illustration: Fig. 36.] Daraus ergibt sich folgender =Satz 17.= »+Der Höhenmaßstab auf einer Vertikalen (und überhaupt auf einer Parallelen zur Bildebene) zeigt keine Verkürzung, sondern eine sich gleichbleibende Verjüngung.+« Gleichhohe Fenster einer Fassade, die auf einer lotrechten Linie liegen, sind also beispielsweise gleich hoch zu zeichnen. Teilungen einer vertikalen Strecke übertragen sich demnach unmittelbar auf das Bild. Wenn etwa die Strecke _pq_ (Fig. 32) in eine gewisse Anzahl gleicher Teile geteilt werden soll, so können wir die Teilung unmittelbar im Bilde _p'q'_ (Fig. 35) vornehmen. [Illustration: Fig. 37.] =22. Darstellung einer zur Bildebene parallelen Pfeilerreihe.= Noch einfacher gestaltet sich die zeichnerische Wiedergabe einer Pfeilerreihe oder überhaupt einer Reihe gleichgroßer, paralleler Gegenstände, wenn dieselben parallel zur Bildebene angeordnet sind. Dies sei der Gegenstand der =Aufgabe 13.= Eine Pfeilerreihe darzustellen, die sich in einer zur Tafel parallelen Ebene befindet. Ist _pq_ der erste darzustellende Pfeiler (Fig. 36), so zeichnen wir nach der Aufgabe 11 sein Bild _p'q'_. Unserer Voraussetzung nach liegen die Endpunkte der Pfeiler auf zwei parallelen Linien _P_ und _Q_, die überdies zur Tafel parallel sind. Es ist also wieder nach Satz 10 auch _P'_ ∥ _P_ und _Q'_ ∥ _Q_ und da _P_ ∥ _Q_ ∥ zur Grundlinie _gg_, so sind auch die Bilder _P'_ und _Q'_ parallel zur Grundlinie. Auf diesen beiden Horizontalen liegen folglich die Bilder der Endpunkte, und sie ergeben sich leicht, wenn man wiederum die Tiefenlinien durch die Punkte selbst zu Hilfe nimmt. [Illustration: Fig. 38.] Die Ausführung der Konstruktion zeigt Fig. 37. Gegeben ist das Bild _p'_ des Punktes _p_, die Höhe der Pfeiler und ihr Abstand _y_. Wir verbinden _p'_ mit dem Hauptpunkt ~A~; diese Tiefenlinie _A'_ liefert auf der Grundlinie _gg_ den Punkt _a_. In _a_ errichten wir eine Vertikale _ab_ gleich der gegebenen Höhe der Pfeiler und erhalten durch die Linie _b_~A~ den Punkt _q'_ auf der Lotrechten durch _p'_ und damit das Bild des ersten Pfeilers _pq_. Auf den Horizontalen _P'_ und _Q'_ durch _p'_ und _q'_ liegen die übrigen Endpunkte. Tragen wir den gegebenen wahren Abstand _y_ zweier Pfeiler auf der Grundlinie als die Strecke 0.1 ab, so gibt die Linie von 1 nach ~A~ das Bild _n'_ und die Vertikale durch _n'_ auf _Q'_ das Bild _r'_. Analog verfährt man für die weiteren Punkte 2, 3 ... Man erkennt, daß _p'n'_ = _n'l'_ usf., daß also auch die Bilder der Pfeiler gleich weit voneinander abstehen. Obwohl die Pfeiler selbst ganz verschiedene Entfernungen vom Auge _O_ haben, sind ihre Bilder doch gleich groß zu zeichnen. Hat man überhaupt in einer zur Bildtafel parallelen Ebene irgendeine Figur, so ist ihr Bild eine dazu ähnliche Figur d. h. das Bild ist eine Verkleinerung der gegebenen Figur; es ändern sich nur die Größenverhältnisse der Figur, alle Winkel aber, und auch die gegenseitigen Verhältnisse der Seiten bleiben ungeändert. Wir können also sagen: =Satz 18.= »+Befinden sich Gegenstände von der gleichen Größe irgendwo in einer Parallelebene zur Tafel oder kürzer in der gleichen Tiefe, so sind ihre Bilder stets gleich groß zu zeichnen.+« [Illustration: Fig. 39.] [Illustration: Fig. 40.] Als Beispiel denken wir uns, am Fuße eines Turmes befinde sich eine menschliche Figur (Fig. 38) und oben auf dem Turme, aber in der gleichen Tiefe, stehe oder liege eine zweite ebenso große. Dann sind die beiden Figuren gleich groß zu geben. Man kann häufig bemerken, daß die Figur auf dem Turme kleiner gezeichnet ist, und als Grund dafür wird angeführt, daß die Figur +auf+ dem Turme doch weiter vom Auge entfernt sei als die Figur am Fuße des Turmes, also auch kleiner sein müsse. Dabei verwechselt man die +Erscheinung+ eines Gegenstandes und seine bildliche Wiedergabe. Die Größenverhältnisse der uns umgebenden Körper beurteilen wir im allgemeinen nach den »Gesichtswinkeln«, unter denen sie uns erscheinen. Wir +betrachten+ nun aber doch das Bild mit den beiden Figuren, und dann ist in der Tat, wie Fig. 39 noch klarer zeigt, der Gesichtswinkel δ, unter dem die obere Figur erscheint, kleiner als der Gesichtswinkel α, der zu der unteren Figur gehört. Hier mag noch eine andere Beobachtung erwähnt werden, die sich auf die Darstellung hoher, sich in Wirklichkeit nicht verjüngender Objekte bezieht. Denken wir uns z. B. einen Turm mit vertikalen Kanten. Betrachten wir denselben mit geradgehaltenem Kopfe, so erscheinen die Kanten des Turmes parallel. Legen wir uns aber auf den Rücken und blicken an dem Turm in die Höhe, so zeigen seine Kanten einen Fluchtpunkt. Zwischen diesen beiden äußersten Fällen gibt es viele Übergänge. Wenn wir nicht weit genug von dem Turme zurücktreten können, so neigen wir ebenfalls den Kopf zurück, um den Turm in seiner ganzen Höhe zu überschauen. Dann tritt wieder die Fluchtpunkterscheinung auf. Aus diesen Überlegungen heraus kann man die Abbildung 4 bis zu einem gewissen Grade für berechtigt erklären. Wir befinden uns dabei in dem Gebiet ästhetisch-psychologischer Vorgänge, und die Perspektive als starre mathematische Schablone kann zugunsten einer besseren Wirkung modifiziert werden. [Illustration: Abb. 4.] [Illustration: Fig. 41.] =23. Darstellung eines rechtwinklig begrenzten Raumes.= Wir wollen jetzt die Fig. 32 erweitern, indem wir uns auch auf der anderen Seite des Auges eine gleichgroße Pfeilerreihe ebenfalls in einer lotrechten Tiefenebene angebracht denken. Verbinden wir dann (Fig. 40) den letzten Pfeiler _pq_ der einen Reihe mit dem letzten Pfeiler _st_ der anderen Reihe durch eine Ebene und legen weiter durch _qb_ und _tc_ ebenfalls eine Ebene, so erhalten wir ein rechteckig begrenztes Raumstück, den Quader _abcdpqts_. Die Pfeilerreihe auf der rechten Seite ist ebenso zu zeichnen wie in Fig. 33, und es ergibt so das Bild _abcdp'q't's'_ (Fig. 41). Stellen wir uns weiter vor, daß wir dadurch je zwei gleich weit von der Tafel entfernte Pfeiler weitere Ebenen legen, so sind diese alle parallel und schneiden die Grundebene in Parallelen zur Grundlinie. Den dargestellten Raum teilen wir dadurch in eine Anzahl gleicher Schichten, die ebenfalls in Fig. 41 wiedergegeben sind. Endlich sind noch der Fußboden und die Wände mit einem Quadratnetz überzogen, und zwar ist die Figur so eingerichtet, daß in der Breite, also von _a_ nach _d_, 8 Quadrate, in der Tiefe von _a_ nach _p_ 5 Quadrate und in der Höhe von _a_ nach _b_ ebenfalls 5 Quadrate liegen. Der Horizont verläuft in einer Höhe, die zwei Quadratseiten entspricht. Es ist leicht, diese Quadrate einzuzeichnen (man vgl. Fig. 19) und so die Fig. 41 herzustellen. Man kann an ein mit quadratischen Kacheln ausgelegtes Zimmer denken. Legt man aber weiter durch die sämtlichen Tiefenlinien die horizontalen und vertikalen Ebenen, so wird der ganze Raum in Würfel geteilt, und zwar in 5 ⋅ 5 ⋅ 8 = 200. Einer dieser Würfel ist herausgezeichnet. Der Leser wird diese Figur nicht für eine mathematische Spielerei halten, sondern sofort erkennen, daß wir damit ein Mittel gewonnen haben, jeden Körper im Raume einigermaßen richtig unterzubringen, indem wir ihn in eine Anzahl von Würfeln einschließen. Fig. 41 leistet für den Raum das gleiche wie Fig. 19 für die Bodenfläche. [Illustration: Abb. 5.] Nennen wir, wie es dem allgemeinen Gebrauch entspricht, die Abmessung in der Richtung der Grundlinie, also von _a_ nach _d_, die Breite, so gibt uns die Fig. 41 sowohl einen +Tiefen-+ und +Höhen-+ als auch einen +Breitenmaßstab+. Denn wir können angeben, wie sich die angenommene Quadratseite an jeder Stelle des Raumes der Tiefe, Höhe und Breite nach verkürzt. An der Stelle _i'_ z. B. sind diese Verkürzungen durch _i'm'_, _i'n'_ und _i'l'_ gegeben. Gleichzeitig ergibt sich noch, was übrigens schon aus Satz 18 folgt: =Satz 19.= »+Der Breitenmaßstab ist in jeder Tiefe gleich dem Höhenmaßstab.+« Endlich gibt Fig. 41 die einfachste Darstellung eines Innenraumes oder eines Interieurs. Um einen geschlossenen Raum darzustellen, mag man sich eine Begrenzungsfläche desselben entfernt denken. Diese Fläche ist hier dann als Bildebene benutzt. Wir geben als Beispiel in Abb. 5 ein Fresko von +Ghirlandajo+ (1449--1494), das die Geburt Johannis des Täufers vorstellt und sich im Chor der Kirche S. Maria Novella in Florenz befindet. Durch einige punktierte Tiefenlinien sind der Augpunkt und der Horizont ermittelt. Der Augpunkt ist aus der Mitte des Bildes etwas nach rechts herausgerückt, wie in Fig. 41 ~A~ näher an _cd_ als an _ab_ liegt. Wählt man den Augpunkt genau in der Mittellinie des Bildes, so gestaltet sich die Architektur auf beiden Seiten ganz gleichmäßig: sie ist symmetrisch zur Mittellinie. Die Symmetrie bedingt eine größere Ruhe und eine gewisse Feierlichkeit im Bilde, wie Abb. 8 zeigen mag. =24. Aufsicht, Untersicht, Seitenansicht.= Die gleiche Figur 41 gibt uns auch Aufschluß, wie wir infolge der Festlegung unseres Standpunktes durch das Auge _O_ horizontale Ebenen, die unter der Horizontebene liegen, von oben sehen: wir haben auf sie »Aufsicht«, so z. B. auf die Bodenfläche. Von horizontalen Ebenen, die oberhalb der Horizontebene liegen, sehen wir dagegen die +untere+ Seite; sie befinden sich in »+Unter+sicht«, wie z. B. die Decke in Figur 41. Die Horizontebene selbst bildet den Übergang zwischen beiden Arten von Ebenen: sie erscheint als Linie, nämlich als der Horizont. In der gleichen Weise sehen wir vertikale Tiefenebenen entweder von rechts oder von links, je nachdem sie links oder rechts von der durch das Auge _O_ gehenden vertikalen Tiefenebene liegen. Diese letztere erscheint als die durch den Augpunkt gehende Vertikale. Die Figuren 42 und 43 mögen das noch weiter veranschaulichen. Sie stellen ein Notenpult oder ein Büchergestell dar, das im ersten Fall lotrecht steht, im zweiten Falle auf dem Boden liegt. [Illustration: Fig. 42.] Aus der Tatsache, daß die ganze Horizontebene sich in den Horizont abbildet, läßt sich noch eine bemerkenswerte Folgerung ziehen. Ist _u'_ das Bild eines Punktes _u_ der Grundebene (Fig. 41) und errichten wir in _u'_ die Senkrechte, welche den Horizont im Punkte _v'_ schneiden möge, so können wir _v'_ als Bild desjenigen Punktes _v_ ansehen, der lotrecht über _v_ in der Horizontebene liegt. Die Strecke _uv_ ist also gleich der Augenhöhe. Zu dem gleichen Resultat führt uns auch die Betrachtung der Figur 34, indem sich zu dem Bilde _p'v'_ als zugehörige Strecke _av_{0}_ ergibt, was wieder die Augenhöhe ist. Daraus folgt demnach folgender vielfach verwendbare =Satz 20.= +Ist das Bild eines Punktes der Grundebene gegeben, so stellt der Abstand dieses Bildes vom Horizont immer das Bild der Augenhöhe vor.+ [Illustration: Fig. 43.] =25. Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes.= Die Darstellung einer menschlichen Figur in einem Bilde gibt uns Veranlassung, über den Maßstab eines Bildes zu sprechen und dieser hängt wieder davon ab, wie wir uns das Zeichnen nach der Natur, also z. B. die Wiedergabe einer Landschaft vorstellen. Bisher haben wir immer angenommen, daß das Bild +direkt+ die Zentralprojektion des Gegenstandes ist, wie wir das bei der Glastafelperspektive (in 2) erörterten. Man kann sich das aber auch etwas anders denken. Nehmen wir z. B. an, ein Landschaftsmaler habe das Motiv und einen günstigen Standpunkt gefunden. Dann mag er sich, etwa in der Entfernung von einigen Metern von seinem Standpunkte, die Bildtafel Π vertikal aufgestellt +denken+. Auf diese Ebene Π wird von seinem Auge aus die Landschaft projiziert. Dieses Bild wird aber nicht wirklich gezeichnet. In sein Skizzenbuch oder auf den vor ihm stehenden Rahmen zeichnet der Maler vielmehr eine Verkleinerung oder eine Verjüngung des auf Π gedachten Bildes. In diesem Falle ist also die Zeichenfläche nicht die gleiche wie die Bildebene. Allerdings könnte man eine neue, dem Standpunkt nähere, zu Π parallele Ebene finden, welche aus dem Strahlenkegel des Auges _O_ gerade das Bild ausschneiden würde, das auf dem Zeichenblatt gezeichnet wurde. Wie kann man nun bestimmen, in welchem Verhältnis das Bild in dem Skizzenbuch gegenüber dem gedachten Bilde auf Π verkleinert ist? Zu dem Zwecke denken wir uns einen Menschen, der ganz nahe hinter der Tafel Π steht. Er wird dann auf der Tafel Π in wirklicher Größe erscheinen. Die Skizze aber wird den gleichen Menschen in kleinerem Maßstabe zeigen, z. B. nur in 1/10 der Lebensgröße. Dann sagen wir, die Verjüngung oder Reduktion sei = 1/10. Wollen wir, was z. B. bei Architekturen nötig ist, genaue Maße haben, so stellen wir uns vor, daß eine Meßlatte mit Metermaßeinteilung in der Bildebene Π liege. Auf dem Skizzenblatt aber wird z. B. +ein+ Meter durch einen Dezimeter wiedergegeben, wenn die Verjüngung 1/10 beträgt. Wir behandeln nun folgende =Aufgabe 14.= Personen in verschiedenen Tiefen eines Bildes darzustellen. In den 3 Fällen sei die Verjüngung stets 1/100, so daß also ein Meter durch einen Zentimeter dargestellt wird. Ferner nehmen wir an, daß alle im Bilde wiedergegebenen Personen 1,5 Meter groß seien, also eine mittlere Größe haben. =1. Fall.= Die Augenhöhe sei 75 ~cm~ oder ¾ ~m~; es soll eine Person gezeichnet werden, die sich in _c'_ auf der Grundebene befindet. Auf der linken Seite gibt uns in Figur 44 die Strecke 0.1 die Darstellung eines Meters; nehmen wir drei Viertel dieser Größe, so ist damit der Horizont _hh_ gefunden, der bei dieser Annahme sehr niedrig liegt. Eine direkt an der Bildtafel stehende Figur ist 1½ ~m~ hoch zu zeichnen, sie ist in _ab_ angedeutet, und sie wird durch den Horizont halbiert. Wir ziehen durch ~A~ nach _a_ und _b_ die Tiefenlinien. Um die in _c'_ befindliche Person zu zeichnen, verschieben wir sie parallel der Bildebene, also in der gleichen Tiefe; dabei bleibt nach Satz 18 ihre Größe ungeändert. Demgemäß ziehen wir durch _c'_ die Parallele zur Grundlinie, welche die Linie ~A~_a_ in _p'_ schneidet. Die in _p'_ bis zum Schnitt mit der anderen Tiefenlinie ~A~_b_ errichtete Senkrechte _p'q'_ gibt die Größe der Figur; ziehen wir durch _q'_ eine Parallele zur Grundlinie, so schneidet sie die Vertikale durch _c'_ in _d'_ und _c'd'_ ist die gesuchte Höhe der Figur in _c'_. [Illustration: Fig. 44.] Ist im Punkte _i'_ der Grundebene eine weitere Figur zu zeichnen, so ziehen wir _c'i'_ und bringen diese Linie in _f_ zum Schnitt mit dem Horizont; verbinden wir _f_ mit _d'_, so ergibt die in _i'_ errichtete Senkrechte den Punkt _k'_, bis zu dem die Figur reicht. Denn die Linien _ci_ und _dk_ sind parallele, horizontale Gerade, müssen also ihren Fluchtpunkt auf dem Horizont haben. Man sieht leicht ein, daß alle Figuren durch den Horizont halbiert werden, und daß man allgemein sagen kann: =Satz 21.= +Alle auf der Grundebene stehenden Figuren werden durch den Horizont im gleichen Verhältnis geteilt.+ =2. Fall.= Die Augenhöhe sei 2½ ~m~; es ist eine Figur zu zeichnen, welche sich in _c'_ auf einer Mauer befindet. [Illustration: Fig. 45.] Wir haben es unter dieser Voraussetzung mit einem hohen Horizont zu tun, der in der Mitte zwischen den Ziffern 2 und 3 verläuft (Fig. 45). Eine Person direkt im Vordergrund hat wieder eine Höhe _ab_, welche = 1½ ~m~ ist. Um die Größe der in _c'_ befindlichen Figur zu bestimmen, verschaffen wir uns die durch _c_ gehende Parallelebene zur Tafel, da in dieser ganzen Ebene die Figur gleichgroß ist. Wir ziehen also durch _c'_ die Parallele zur Grundlinie, gehen dann an der Mauer senkrecht herunter und wieder parallel zur Grundlinie weiter, bis wir nach _p'_ gelangen. Die Vertikale in _p'_ schneidet aus der Linie _C_~A~ den Punkt _q'_ aus. _p'q'_ ist wieder die Größe einer menschlichen Figur in der Tiefe _p'_. Die Figur in _c'_ ist aber ebensogroß zu zeichnen, also muß _c'd'_ = _p'q'_ sein. [Illustration: Fig. 46.] Bringen wir die Linien _ab_ und _p'q'_ in _t'_ und _r'_ mit dem Horizont zum Schnitt, so ist _ab_ : _at'_ = _p'q'_ : _p'r'_ = 3 : 5. Es beträgt also die Höhe jeder +auf der Grundebene+ stehenden Figur ⅗ der Höhe bis zum Horizont. Dies ist wiederum der vorige Satz 21. Weiß man umgekehrt nicht, wie hoch der Horizont ist, so kann man die Augenhöhe ungefähr bestimmen, wenn eine menschliche Figur _ab_ unmittelbar im Vordergrund gegeben ist. So könnte man in unserer Figur 45 durch Schätzung oder Abmessung finden, daß die Augenhöhe fünfmal so groß ist als der dritte Teil von _ab_. Da für _ab_ mittlere Manneshöhe 1,50 ~m~ angenommen werden darf, so ist der dritte Teil davon 50 ~cm~, und für die Augenhöhe _at'_ ergibt sich als Zahlenwert 5 × 50 ~cm~ = 2,50 ~m~. =3. Fall.= Die Augenhöhe sei 1,50 ~m~; man bestimme die Größe einer menschlichen Figur, die sich in _c'_ auf einer Mauer befindet. Eine unmittelbar im Vordergrund befindliche Person _ab_ reicht jetzt gerade bis an den Horizont. (Fig. 46.) (Wollten wir uns noch genauer ausdrücken, so könnten wir sagen, daß der Horizont die Augen aller auf der Grundebene stehenden Personen enthalten müsse.) In der Figur sind einige Meßlatten gezeichnet, die senkrecht auf der Grundebene stehen. Dann schneidet der Horizont auf +jeder+ Latte 1,50 ~m~ ab. Sind die Latten in halbe Meter geteilt, so geht er also immer durch das Ende des dritten Abschnittes. Um die Figur in _c'_ zu zeichnen, legen wir wieder durch _c_ die Parallelebene zur Tafel, also durch _c'_ die Parallele zur Grundlinie, gehen an der Mauer senkrecht herunter und parallel zu _gg_ weiter, so daß wir nach _p'_ gelangen. Die in _p'_ errichtete Senkrechte schneidet den Horizont in _q'_. Die in _c'_ befindliche Figur ist also = _p'q'_ zu machen, so daß ihre Größe _c'd'_ = _p'q'_. Sie wird an den Füßen von der Mauerkante überschnitten. Wenn wir zu einer Architektur eine Figur als Staffage beifügen, so ist damit die Größe der Architektur festgelegt. Zeichnen wir die Staffagefigur klein, so nimmt die Architektur dadurch große Formen an und umgekehrt wird sie durch eine große Figur verkleinert. =26.= Endlich wollen wir noch einen etwas komplizierteren einzelnen Gegenstand darstellen in =Aufgabe 15.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen, wenn die Vorderfläche des Sockels in der Bildebene liegt. Der Grundriß _P_{1}_ ist in der Verschiebung gegeben (Fig. 47), der Aufriß _P_{2}_ befindet sich nicht senkrecht über dem Grundriß, sondern er wurde nach links hinausgeschoben, um den Platz für die Zeichnung frei zu lassen. Von dem Sockel liegt die Fläche 1 2 6 5 in der Bildtafel. Wir übertragen zunächst den ganzen Grundriß in das Bild und bauen darüber den Körper auf. Das Bild 1 2 3' 4' des Quadrates (1)(2)(3)(4) ist sofort zu zeichnen, da 4' sowohl auf der Tiefenlinie 1.A als auch auf der Linie von 2 nach dem Distanzpunkt ~D_{1}~ liegt. Wir zeichnen weiter die beiden inneren Quadrate. Die Bilder 9' und 13' ergeben sich, wenn man durch (9) und (13) die Tiefenlinien zieht. Außerdem liegen 9' und 13' auf der Diagonale 1.3'. Der Sockel kann jetzt dargestellt werden; die Tiefenlinien durch 5 und 6 schneiden auf den Vertikalen durch 4' und 3' die Punkte 8' und 7' aus. Um den Schaft des Pfeilers zu zeichnen, haben wir im Punkte 9' eine Senkrechte von gegebener Länge zu errichten: alle diese Höhen messen wir von der Grundebene aus. Nach Aufgabe 11 verbinden wir also 9' mit ~A~ und erhalten auf der Grundlinie den Hilfspunkt 10; durch diesen ziehen wir eine Vertikale und schneiden auf derselben durch die Parallele im Aufriß die anzutragende Höhe 10.11 ab. Dann schneidet die Linie von 11 nach ~A~ auf der Vertikalen durch 9' das Bild 12' der oberen Ecke aus. Die drei übrigen Ecken des Quadrates ergeben sich durch Parallele und Tiefenlinien, und ebenso leicht ist das auf der oberen Fläche des Sockels befindliche Quadrat einzutragen; seine Ecken liegen auf den Diagonalen 5.7' und 6.8'. [Illustration: Fig. 47.] Nun ist weiter im Punkte 13' die Senkrechte zu errichten. Die Tiefenlinie liefert den Hilfspunkt 14 und 14.15 ist die auf der Vertikalen anzutragende Strecke. So ergibt sich das Bild 16' des vorletzten Quadrates. Der Punkt 17 endlich liefert in 18' eine Ecke der Deckfläche. Beide Quadrate sind leicht zu vervollständigen. Der Punkt 12' gibt mit 16' verbunden das Bild des Gehrungsprofiles. Verschafft man sich das Bild 19' des Punktes 19, so kann man die Kontrolle benutzen, daß die vier Linien 16'.12' usf. durch 19' gehen. +Anmerkung.+ Statt die Bildebene durch die vordere Fläche des Sockels zu legen, könnte man sie auch +parallel+ zu derselben durch die Achse des Körpers legen. Die Schnittfigur der Bildebene mit dem Pfeiler stimmt dann mit dem Aufriß _P_{2}_ überein. Es läßt sich aus diesem Schnitt ebenfalls das Bild des Pfeilers leicht herstellen, ohne daß man nötig hat, eine Verschiebung zu benutzen. Wir empfehlen die Ausführung dem Leser. =Aufgabe 16.= Einen in Grund- und Aufriß gegebenen Pfeiler darzustellen, der beliebig auf der Grundebene steht, wenn eine Kante des Sockels in der Bildtafel liegt. Der Grundriß _P_{1}_ sei wieder in der Verschiebung gegeben, Fig. 48, der Aufriß _P_{2}_ ist links hinausgeschoben. Wie in Aufgabe 9, Fig. 28, zeichnen wir zunächst vermittels der Umlegung ~D_{3}~ des Auges die Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_ der beiden Richtungen (_A_) und (_B_). Ferner wollen wir noch den Fluchtpunkt der Diagonale 1.3 konstruieren, d. h. wir ziehen durch ~D_{3}~ eine Parallele zur Verbindungslinie 1.3, welche den Horizont in ~D~_{_g_} trifft. Dieser Fluchtpunkt ~D~_{_g_} heißt auch der +Diagonalpunkt+ und es ist vielfach, z. B. bei Gehrungen, nützlich, ihn einzuführen. Zunächst übertragen wir wieder den ganzen Grundriß in die Perspektive. Die durch 1 gehende Kante des Sockels liegt in der Bildebene. Das Bild des Vierecks 1 2 3 4 kann gezeichnet werden, sobald von einer weiteren Ecke das Bild ermittelt ist. Wir benutzen etwa die Spur 5 der Verbindungslinie 2.3. Verbinden wir 5 mit _f_{a}_, so schneidet diese Linie auf der Linie 1._f_{b}_ das Bild 2' aus. Die Ecke 3' aber wird erhalten als Schnittpunkt von 1.~D~_{_g_} mit der Linie 5._f_{a}_. Endlich gibt die Linie _f_{b}_.3' in ihrem Schnitt mit _f_{a}_.1 den Punkt 4'. In ähnlicher Weise kann man die Bilder der beiden inneren Quadrate ermitteln. Um jetzt den Körper der Höhe nach aufzubauen, bestimmen wir auf der Vertikalen durch 1 ohne weiteres die Ecke 6, da die Länge 1.6 im Aufriß ja gegeben. Die drei anderen Ecken der Deckfläche des Sockels sind auf den Vertikalen durch 2', 3' und 4' ohne Schwierigkeit zu finden. Die übrigen Höhenabmessungen können wir unter Benutzung der Vertikalen 1.6 und des Diagonalpunktes ~D~_{_g_} gewinnen, da doch alle durch ~D~_{_g_} gehenden Linien die Bilder horizontaler Geraden sind, welche zur Diagonale 1.3 parallel laufen. Infolgedessen liefern die Hilfspunkte 7, 9, 11 aus ~D~_{_g_} projiziert auf den betreffenden Vertikalen die Punkte 8', 10', 12'. Die fehlenden Ecken ergeben sich durch Benutzung der Fluchtpunkte _f_{a}_ und _f_{b}_. Die vier schiefen Linien der Gehrung gehen durch den Punkt 14', auf der Achse des Körpers; zu diesem Punkt 14' gelangt man vom Hilfspunkt 13 aus. [Illustration: Fig. 48.] Auch in diesem Falle wäre es eine gute Übung, den Körper darzustellen unter der Annahme, daß die Bildebene parallel zu der eben benutzten durch die Achse des Pfeilers gelegt wird. Die Figuren 47 und 48 geben zwei charakteristische Formen perspektivischer Bilder. In Fig. 47 steht der Körper so zur Bildtafel, daß ein Teil seiner Kanten und Flächen zur Bildebene parallel, der andere Teil der Kanten und Flächen zur Bildebene senkrecht verläuft. Im Bilde selbst treten als wichtigste Linien die Horizontalen und die Tiefenlinien auf. Man sagt, der Körper befinde sich in »Frontstellung« oder »frontal« und nennt die Darstellung eine »Frontansicht« oder (weniger gut) eine »gerade Ansicht«. Im zweiten Falle, der Fig. 48, sind die Kanten und Flächen des Körpers gegen die Bildebene schräg gestellt; der Körper befindet sich in »Übereckstellung«, und man nennt das Bild eine »schräge Ansicht«. Die Bilder der ersten Art (Fig. 47) zeigen wegen der auftretenden Parallelen eine gewisse Einförmigkeit, während bei den Bildern der zweiten Art (Fig. 48) die zwei Fluchtpunkte eine reichere Bewegung der Linien bewirken. § 9. Schiefe Linien im Raume. =27. Steigende und fallende Gerade im Raume.= Bisher haben wir nur Gerade betrachtet, welche entweder parallel oder senkrecht zur Grundebene waren, also horizontale oder vertikale Linien. Gelegentlich kommen aber doch auch Gerade vor, die ganz beliebig im Raume verlaufen, z. B. die Giebellinien eines Daches oder einer Fensterbedachung, die Steigungslinien einer Treppe oder einer ansteigenden Straße. Solche Linien wollen wir als +schiefe+ Gerade bezeichnen. Ist eine ganz beliebige Gerade _A_ gegeben, Fig. 49, so denken wir uns durch _A_ die zur Grundebene lotrechte Ebene gelegt, welche aus der Grundebene den rechtwinkligen Riß _A_{1}_ ausschneidet. Sie ist in der Figur vertikal schraffiert. _s_ sei die Spur der Geraden _A_. Durch _s_ ziehen wir in dieser schraffierten Ebene eine Parallele _X_ zu _A_{1}_. Die Gerade _A_ bildet dann mit _X_ einen Winkel α, der sich von _X_ nach aufwärts erstreckt. Von der Geraden _A_ sagen wir nun, sie »steige« im Raume. Dabei betrachten wir denjenigen Abschnitt der Geraden _A_, der vom Auge _O_ ausgerechnet +hinter+ der Bildtafel liegt und durchlaufen ihn, indem wir in der Spur _s_ beginnen. [Illustration: Fig. 49.] Den Fluchtpunkt _f_{a}_ der Geraden _A_ finden wir dadurch, daß wir durch das Auge _O_ eine Parallele zu _A_ ziehen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen; es ist also _Of_{a}_ ∥ _A_. Wir legen auch durch die Gerade _Of_{a}_ eine lotrechte Ebene, welche in der Figur ebenfalls vertikal schraffiert ist. Aus einfachen Sätzen folgt, daß diese beiden schraffierten Ebenen parallel sind. Die durch die Gerade _Of_{a}_ gelegte Vertikalebene möge den Horizont in _f_, die Grundlinie in _f_{1}_ schneiden, so daß die Punkte _f_{a}_, _f_, _f_{1}_ auf der vertikalen Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel gelegen sind. Dann tritt der Winkel α nochmals auf, in dem auch ∢ _fOf_{a}_ = α und man erkennt, daß der Fluchtpunkt _f_{a}_ +oberhalb+ des Horizontes gelegen ist. [Illustration: Fig. 50.] Nehmen wir jetzt eine zweite Gerade _B_ dazu, die aber in der gleichen Vertikalebene liegen und außerdem auch durch _s_ gehen soll. Dagegen möge diese zweite Gerade einen Winkel β mit _X_ bilden, der nach abwärts geht. Diese Gerade _B_ »fällt« dann. Konstruieren wir ihren Fluchtpunkt, so müssen wir durch _O_ eine Parallele zu _B_ konstruieren. Diese Parallele liegt aber in der zweiten, schraffierten Vertikalebene, d. h. _f_{b}_ muß auf der Linie _ff_{1}_ gelegen sein. Es ist wieder ∢ _fOf_{b}_ = β und der Fluchtpunkt _f_{b}_ befindet sich unterhalb des Horizontes _hh_. Diese einfachen Überlegungen geben uns den praktisch wertvollen =Satz 22.= »+Gerade, welche im Raume+ =steigen=, +haben einen Fluchtpunkt+ =oberhalb= +des Horizontes+; =fällt= +eine Gerade im Raume, so liegt ihr Fluchtpunkt+ =unter= +dem Horizont+.« [Illustration: Fig. 50 ~a~.] Man beachte, wie die horizontalen Geraden den Übergang von den steigenden zu den fallenden Geraden bilden und deswegen ihre Fluchtpunkte +auf+ dem Horizonte haben. Um das gleich an einem Beispiel zu veranschaulichen, ist in Fig. 50 eine Brücke skizziert. Der mittlere Teil derselben läuft horizontal entsprechend dem Fluchtpunkt _f_, der vordere Teil der Brücke steigt gegen den Fluchtpunkt _f_{a}_ an, der rückwärtige fällt nach dem Fluchtpunkt _f_{b}_. Aus der Figur 47 entnehmen wir noch weiter folgendes: die beiden parallelen, schraffierten Ebenen werden von der Grundebene geschnitten, also ist _O_{1}f_{1}_ ∥ _A_{1}_. Andererseits ist aber auch _O_{1}f_{1}_ ∥ _Of_. Daraus folgt, daß _Of_ ∥ _A_{1}_ oder mit anderen Worten: _f_ ist der Fluchtpunkt für den Riß _A_{1}_ der Geraden _A_. Damit hat sich ergeben: =Satz 23.= »+Projiziert man den Fluchtpunkt einer schiefen Geraden auf den Horizont, so ist dieser Punkt der Fluchtpunkt für die Projektion der Geraden in die Grundebene.+« Das wurde in der Figur 50 auch berücksichtigt, indem die 3 Punkte _f_{a}_, _f_{b}_, _f_ einer Vertikalen liegen. Im besonderen kann eine Gerade _C_ in einer Vertikalen Tiefenebene liegen (Fig. 51). Dann wird die Lotebene, welche den Riß _C_{1}_ liefert, eine Tiefenebene und der Riß _C_{1}_ eine Tiefenlinie. Unsere Betrachtung zeigt ohne weiteres, daß der Fluchtpunkt _f_{c}_ einer solchen schiefen Geraden _C_ auf der Vertikalen durch den Augpunkt liegen muß. Die beiden parallelen Ebenen sind in der Fig. 51 wieder schraffiert; man mag sich darunter Türen denken, die im vorliegenden Falle unter 90° gegen die Wandfläche geneigt sind, während sie sich in Fig. 49 weniger weit öffnen. Es folgt also =Satz 24.= »+Liegt eine schiefe Gerade in einer vertikalen Tiefenebene, so muß ihr Fluchtpunkt auf einer Vertikalen durch den Augpunkt gelegen sein.+« Fig. 50 gibt in dem Gebäude links ein Beispiel. Die Wand des Hauses, in welcher sich die Türe befindet, ist eine Tiefenebene. Die Giebellinien laufen deswegen nach den Fluchtpunkten _F_{a}_ und _F_{b}_, die auf der Senkrechten im Augpunkt ~A~ liegen. Auch die Linien des Türgiebels haben diese Eigenschaft. [Illustration: Fig. 51.] Aus der Fig. 49 ziehen wir endlich noch eine Folgerung. Wenn die beiden Geraden _A_ und _B_ gleich geneigt sind gegen die Gerade _X_ oder, was das gleiche ist, gegen die Grundebene, wenn also α = β, so ergibt sich aus den Dreiecken _Off_{a}_ und _Off_{b}_ sofort, daß dann auch _ff_{a}_ = _ff_{b}_ oder =Satz 25.= »+Sind schiefe Gerade im Raume gleich geneigt gegen die Grundebene, so liegen ihre Fluchtpunkte gleich weit vom Horizont entfernt.+« [Illustration: Fig. 52.] In Fig. 50 ist also ~A~_F_{a}_ = ~A~_F_{b}_, weil die beiden Seiten des Daches doch gleiche Winkel mit der Grundebene einschließen, und da auch rechts _ff_{a}_ = _ff_{b}_, so hat die Brücke zu beiden Seiten der horizontalen Strecke die gleiche Steigung. =Zusatz.= Wir fügen hier eine vielbenutzte Konstruktion an. Denken wir uns die wahre Gestalt 1 2 3 4 5 der Seitenwand 1'2'3'4'5' in Fig. 50 ~a~ herausgezeichnet und konstruieren wir den Schnittpunkt 6 der Diagonalen 2.4 und 1.3, so hat die Figur die Eigenschaften, daß die Verbindungslinie 5.6 parallel zu 1.4 und 2.3 ist und daß sie die Seiten 1.2 und 3.4 in 7 und 8 halbiert. In der perspektivischen Zeichnung läßt sich 6' sofort angeben; 5' liegt also auf der Vertikalen durch 6', was eine Kontrolle gibt und diese Vertikale schneidet weiter die Bilder 8' und 7' der Mitten von 1.2 und 3.4 aus. Ist also z. B. die gegebene Strecke 1'.2' zu halbieren, so hat man nur nötig, irgendein solches vertikales Rechteck zu zeichnen. =Aufgabe 17.= Eine Freitreppe darzustellen, wenn die Wangen in Tiefenebenen gelegen sind. Das Verhältnis der Höhe der Stufe zur Breite sei ½. Das Profil der Treppe ist in Fig. 52 unten angegeben. Die Stärke der Treppenwange und die Breite der Treppe werden beliebig angenommen. Die Begrenzungslinie _A_ der Wange und die Linien _B_ und _C_, welche die Stufen bestimmen, bilden drei parallele Linien. Ist _f_{c}_ der Fluchtpunkt für diese Linien, so liegt nach Satz 24 _f_{c}_ auf einer Senkrechten durch ~A~ und es muß auch (Fig. 51) ~A~_f_{c}_ = ½ _O_~A~ sein. Demgemäß machen wir in Fig. 52 die in ~A~ errichtete Senkrechte ~A~_f_{c}_ = der halben Distanz = ~AD_{1}~/2. Im Punkte 0 der Grundlinie tragen wir die Vorderfläche der Wange an und ziehen durch die beiden oberen Ecken die Linien nach _f_{c}_. Auf der Tiefenlinie von 0 nach ~A~ hat man jetzt den Tiefenmaßstab anzutragen, der in dem Treppenprofil gegeben ist. Wir tragen nach Aufg. 5 den Maßstab auf der Grundlinie an und projizieren ihn aus ~D_{1}~ auf die Tiefenlinie. So erhält man die Bilder 1', 2', 3', 4' usf. In diesen Punkten sind jetzt nach Aufg. 11 Höhen zu errichten, die bzw. eine, zwei, drei Stufenhöhen betragen. Wir tragen deswegen auf der durch 0 gehenden Vertikalen einen Maßstab mit einer Einheit gleich einer Stufenhöhe ab; dann liefert die Tiefenlinie 1.A auf der durch 1' gehenden Senkrechten den Punkt I', die durch 2 gehende Tiefenlinie 2.~A~ schneidet auf der durch 2' gezogenen Vertikalen den Punkt II' aus usf. Eine Kontrolle besteht darin, daß alle Punkte I', II', III' ... auf einer Geraden _B'_ liegen müssen, die durch _f_{c}_ geht. Gleichzeitig erhält man die auf _C'_ gelegenen Eckpunkte der unteren Treppenkanten. Nun kann man ohne weiteres durch diese Punkte die Horizontalen zeichnen bis zur rechten Treppenwange. Man beachte, daß man auf diejenigen Treppenstufen, die +unter+ dem Horizont liegen, Aufsicht hat, auf die +über+ dem Horizont befindlichen Stufen dagegen Untersicht. In unserer Figur ist, um Raum zu sparen, die Distanz etwas klein angenommen; man wähle sie größer, wodurch das Bild gewinnen wird. [Illustration: Fig. 53.] Es ist auch nicht uninteressant zu bemerken, daß Linien, welche im Raume steigen oder fallen, im Bilde durchaus nicht zu steigen oder zu fallen brauchen. Das kann man an Fig. 53 beobachten. Die Fluchtpunkte des Giebels sind _f_{a}_ und _f_{b}_, aber die Linie _x'y'_ +fällt+ im Bilde, in der Richtung gegen den Fluchtpunkt durchlaufen, während die Gerade _xy_ selbst im Raume offenbar steigt. § 10. Der photographische Apparat. =28. Die Entstehung des photographischen Bildes.= Wie allgemein verbreitet die perspektivischen Bilder sind und welche Bedeutung ihnen für die Versinnlichung der uns umgebenden Welt zukommt, kann durch nichts stärker zum Bewußtsein gebracht werden als durch die Tatsache, daß jede Photographie ein perspektivisches Bild ist. Indem wir hinsichtlich der Einrichtung eines photographischen Apparates und der Wirkung des Objektives auf andere Darstellungen verweisen[4], bemerken wir nur, daß wir uns die Entstehung des Bildes auf der Mattscheibe für unsere Zwecke hinreichend genau in folgender Weise denken können. [4] Otto Prelinger, Die Photographie (ANuG Bd. 414). 1914. Moritz von Rohr, Die optischen Instrumente (ANuG Bd. 88). 1906. [Illustration: Fig. 54.] Die Begrenzungsflächen der Linsen des Objektives sind Ausschnitte aus Kugelflächen und die Mittelpunkte aller dieser Kugeln liegen auf einer Geraden, der optischen Achse des Linsensystems. Das photographische Bild entsteht nun durch eine Zentralprojektion, die aus einem Punkte _O_ erfolgt (Fig. 54), der auf der Achse des Linsensystems liegt, und zwar angenähert in der Mitte zwischen den Punkten, in denen die Achse die vorderste und hinterste Linsenfläche schneidet. Dieser Punkt heißt wohl auch der »Mittelpunkt« des Objektives. [Illustration: Fig. 54 ~a~.] Wie verhält es sich aber weiter mit der Bildebene? Die Haupteigenschaft des Linsensystems ist die, daß jede auf der optischen Achse senkrechte Ebene wieder in eine auf der Achse senkrechte Ebene abgebildet wird. Photographiert man also z. B. ein Gemälde oder eine Karte, so ist die Mattscheibe an die Stelle der entsprechenden Ebene zu bringen. Alle Punkte des Gemäldes sind dann scharf eingestellt. Weiter kann unser Auge die Unschärfe erst von einem gewissen Grade an erkennen. Das hat zur Folge, daß nicht nur Punkte der betreffenden Ebene, sondern eine ganze Schicht vor und hinter ihr gelegener Punkte ebenfalls scharf erscheinen. Es wird folglich ein ganzes Stück des Raumes brauchbar abgebildet. Am wichtigsten wird diese Eigenschaft, wenn wir auf einen weit entfernten Gegenstand, z. B. einen Kirchturm, einstellen. Dann hat die Mattscheibe des Objektives eine gewisse Entfernung vom Mittelpunkt des Objektives, die man die »Brennweite« nennt. Es erscheint nun aber nicht nur der Kirchturm scharf auf der Mattscheibe, sondern ein großer Teil des Raumes bis zu einer bestimmten Entfernung vom Objektiv liefert ein scharfes Bild. Nimmt man also eine Landschaft oder eine Architektur auf, so genügt diese Einstellung für das ganze Objekt. Man sagt, es sei »auf Unendlich« eingestellt und bei manchen Apparaten ist die Mattscheibe überhaupt in dieser Stellung fixiert. Sind beispielsweise _ab_ und _cd_ zwei parallele, ziemlich entfernte vertikale Gerade (Fig. 54) und ist auf Unendlich eingestellt, so ergeben sich die Bilder von _ab_ und _cd_, indem man durch den Mittelpunkt _O_ des Objektives die Strahlen konstruiert und diese mit der Mattscheibe zum Schnitt bringt. Es entstehen die Bilder _a'b'_ und _c'd'_. (Ein Unterschied gegenüber unserer perspektivischen Abbildung besteht nur darin, daß wie beim Vorgang des Sehens das Projektions-Zentrum zwischen Gegenstand und Bildtafel gelegen ist. Deswegen erscheint das Bild auf der Mattscheibe verkehrt: es ist oben und unten, rechts und links vertauscht. Man kann sich übrigens eine Ebene denken, welche zwischen dem Mittelpunkt und dem Gegenstand parallel zur Mattscheibe verläuft und ebenso weit vom Mittelpunkt entfernt ist als die Mattscheibe. Diese Ebene würde aus dem Bündel der projizierenden Strahlen das aufrechte Bild des Gegenstandes ausschneiden. Demnach müssen Photographien alle Eigenschaften perspektivischer Bilder zeigen und man mag an der Abb. 7 (S. 70) die Verkürzungen, den Verlauf horizontaler Geraden und den Fluchtpunktsatz verfolgen. Speziell aus dem letzteren wollen wir noch eine Folgerung ableiten. [Illustration: Abb. 6.] =29. Stürzende Linien.= Nehmen wir an, daß _ab_ und _cd_ zwei vertikale Gerade (Fig. 54) und ist die Mattscheibe ebenfalls genau vertikal gestellt, so sind _ab_ und _cd_ parallel zur Bildebene, also müssen nach Satz 10 ihre Bilder _a'b'_ und _c'd'_ auch parallel sein (Fig. 54 rechts). In der Tat erscheinen in der Abb. 7 alle vertikalen Geraden vertikal. Denken wir uns aber, daß _ab_ und _cd_ etwa zwei in ziemlicher Höhe z. B. an einem Giebel befindliche Linien seien und der Photograph würde, um sie auf die Mattscheibe zu bekommen, den Apparat in die Höhe drehen, wie es Fig. 54 ~a~ andeutet. Jetzt sind die parallelen Geraden _ab_ und _cd_ nicht mehr parallel zur Bildebene. Ihre Bilder werden also auch nicht mehr parallel, sondern sie konvergieren nach einem Fluchtpunkt _f_, der unterhalb in der erweiterten Ebene der Mattscheibe liegt. Das Bild der Geraden zeigt Fig. 54 ~a~ rechts. Das Siegestor in München wurde in dieser Weise mit gestürztem Apparat photographiert (Abb. 6). Natürlich liegt der Fluchtpunkt jetzt oben, da wir das Bild doch umkehren Aber auch aus Versehen oder aus Unachtsamkeit können sich namentlich beim Gebrauch einer Handkamera solche stürzende Linien einstellen. Würde man, um von einem hohen Standpunkt in die Tiefe zu photographieren, den Apparat nach unten neigen, so läge der Fluchtpunkt der Vertikalen im Bilde unten und die Gebäude fielen auf den Beschauer zu. Man kann übrigens auch bei gestürztem Apparat vertikale Linien wieder parallel und vertikal erhalten, wenn man die Mattscheibe um _m_ so lange dreht (Fig. 54 ~a~), bis sie in der Stellung _mp_ wieder vertikal steht. Dann muß man allerdings neu einstellen. Aus diesem Grunde ist bei manchen, besseren Apparaten die Möglichkeit gegeben, die Mattscheibe zu drehen. Endlich wird man noch die Frage stellen können: Aus welchem Punkte muß denn eine Photographie, die doch ein perspektivisches Bild ist, betrachtet werden? Wir wollen uns auf den Fall beschränken, daß ein ziemlich entferntes Objekt, eine Landschaft oder eine Architektur, mit der Einstellung auf Unendlich aufgenommen worden sei. Dann ist eine solche Photographie offenbar aus einer Entfernung zu betrachten, die gleich der +Brennweite+ ist. Es tritt also in diesem Falle als +Distanz+ die Brennweite ein. § 11. Die Wahl der Distanz. =30. Größe der Distanz.= Ein Gegenstand sei in seiner Lage gegen die Bildebene gegeben, ferner möge die Tafel durch den Bildausschnitt, etwa durch ein Rechteck _abcd_ Fig. 55, begrenzt sein. Dann kann man noch sehr verschiedene Bilder dieses Gegenstandes erhalten, indem man die Distanz und die Augenhöhe verschieden wählt. Der Augpunkt soll dabei immer in der Mittellinie des Bildes angenommen werden. Als Gegenstand bilden wir einen rechtwinklig begrenzten Raum ab mit einem quadratisch getäfelten Fußboden und einem Würfel, der sich über einem Quadrate des Fußbodens erhebt. Wir wählen zunächst die Distanz ~AD_{1}~ klein, nämlich noch kleiner als die kleinere Seite des Bildrechtecks, und zeichnen die Darstellung in Fig. 55 für eine mittlere, in Fig. 56 für eine große Augenhöhe. Man erkennt, daß in beiden Fällen, namentlich aber bei dem hohen Horizont, die Bodenfläche so stark steigt, daß darauf befindliche Figuren förmlich herunterzurutschen scheinen, und daß sich unschöne Verkürzungen ergeben. Die Abb. 3 (S. 30) zeigt uns ein solches Interieur mit sehr hohem Horizont, der etwa in 8/11 der Bildhöhe verläuft. Dagegen kann für die Darstellung einer Stadt oder eines ganzen Landes recht gut eine Perspektive mit sehr hohem Horizont verwendet werden. Ein solches Bild nennt man dann eine »Vogelperspektive«. [Illustration: Fig. 55.] [Illustration: Fig. 56.] [Illustration: Fig. 57.] In den Figuren 57 und 58 wurde die Distanz größer angenommen, nämlich 1½mal so groß als die größere Seite des Bildausschnittes. Endlich gibt Fig. 59 eine Darstellung, in der die Distanz 3mal so groß gewählt ist als die größere Seite _ab_ des Bildes. Man bemerkt, wie in diesem Falle die Bodenfläche und die Wände schon sehr zusammenschrumpfen. Je größer man die Distanz wählen würde, um so mehr würde sich das Bild einer Orthogonalprojektion nähern. Es verwischen sich aber dann die eigentlichen, perspektivischen Eigenschaften des Bildes mehr und mehr. Vergleicht man die fünf Figuren, so ergibt sich, daß man Fig. 56 und Fig. 58 wohl als die schönsten und ästhetisch brauchbarsten Bilder bezeichnen muß. [Illustration: Fig. 58.] Wir bringen dies weiter in Zusammenhang mit folgender Tatsache: wenn wir irgendein größeres Objekt, sei es nun ein räumlicher Gegenstand oder ein Bild, als +Ganzes+ betrachten wollen, so treten wir so weit von dem Objekt zurück, daß wir dasselbe ohne Bewegungen des Kopfes übersehen können. Dann erst haben wir einen +Gesamteindruck+. Je größer der Gegenstand ist, um so weiter entfernt wählen wir unseren Standpunkt. Offenbar beherrscht unser Auge nur einen Kegel von ganz bestimmter Öffnung und wir richten unsere Stellung dem Objekt gegenüber so ein, daß das Objekt ganz in diesen Kegel hineinfällt. [Illustration: Fig. 59.] Auf diese Weise erkennt man, daß die Distanz nicht völlig willkürlich gewählt werden darf. Ist sie zu groß, so verliert das Bild die charakteristischen, perspektivischen Wirkungen; ist sie zu klein, so ergeben sich übertriebene Verkürzungen. Aus der Praxis heraus hat sich folgende Regel ausgebildet: Man wähle die Distanz 1½mal bis 2mal so groß als die größere Seite des Bildrechteckes. In betreff der mit kleiner Distanz gezeichneten Bilder ist auch noch daran zu erinnern, daß das normale, nicht kurzsichtige Auge auf Gegenstände, die näher als etwa 25 ~cm~ am Auge liegen, nicht mehr akkommodieren kann, das heißt es kann solche Objekte nicht mehr scharf sehen. Auch aus diesem Grunde sind demnach allzu kleine Distanzen zu vermeiden. [Illustration: Fig. 60.] [Illustration: Abb. 7.] =31. Wirkung einer zu kleinen Distanz, das Interieur.= Es liegt weiter nahe, daß man eine für eine kleine Distanz angefertigte Zeichnung aus einer Entfernung betrachtet, die größer ist als die Distanz. Dann treten übertriebene Tiefenwirkungen auf. In der Tat denken wir uns einen Würfel, der mit der Fläche in der Bildtafel liegt. Das Auge befinde sich in der Erweiterung der unteren Würfelfläche. Fig. 60 (links) stellt den Schnitt mit einer Ebene dar, die durch das Auge senkrecht zur Bildebene geht. Das Bild des Würfels wird dann durch _a_, _b_, _c'_ angedeutet. Ist nun umgekehrt das Bild _a_, _b_, _c'_ gegeben, so ist vorauszuschicken, daß natürlich durch +ein+ Bild der Körper nicht bestimmt sein kann. Wenn wir aber z. B. noch wissen oder stillschweigend annehmen, daß es sich um einen rechtwinklig begrenzten Körper handelt, so können wir aus dem einen Bild den Körper rekonstruieren. [Illustration: Abb. 8.] Es möge nun das Bild _a_, _b_, _c'_ aus einem Punkte _O_{1}_ betrachtet werden (Fig. 60 rechts), der weiter von der Bildebene entfernt liegt als _O_. Der zum Punkte _c'_ gehörige Raumpunkt _c_ liegt dann einerseits auf der Linie _O_{1}c'_, andererseits aber wegen der rechtwinkligen Natur des Körpers auf der Senkrechten in _b_ zur Bildebene. Statt des Würfels erhalten wir einen viel längeren, rechteckigen Quader _abcd_. Es scheint also der Körper viel tiefer zu sein, als er wirklich ist. [Illustration: Abb. 9.] Diese unnatürliche Vertiefung (Tunnelperspektive) kann man z. B. an photographischen Bildern beobachten, die mit Objektiven von kleiner Brennweite hergestellt werden, weil solche Darstellungen eben meistens aus einer zu großen Entfernung betrachtet werden. So erscheint in Abb. 7 (S. 70) das Gebäude viel länger als in Wirklichkeit. Ein einfaches Mittel, von solchen Photographien ein richtiges Bild zu bekommen, besteht darin, daß man sie durch ein Vergrößerungsglas betrachtet. Dann wird mit dem Bilde auch die Distanz vergrößert, und man gewinnt eher die richtige Entfernung für das Auge. Eine ganz entsprechende +Verkürzung+ des Objektes der Tiefe nach tritt ein, wenn man unter der gleichen Annahme wie oben ein perspektivisches Bild aus einer zu kleinen Distanz betrachtet. Eine kleine Distanz bevorzugt man bei der Darstellung eines Innenraumes, also beim Interieur, weil dadurch die Vorstellung erweckt wird, daß der Beschauer sich noch im Innern des betreffenden Raumes befindet. Prüft man beispielsweise in dem Fresko von +Raffael+ (1485--1520), die »Schule von Athen« (Abb. 8, S. 71), das die eine Wand der ~camera della segnatura~ im Vatikan in Rom einnimmt, auf Grund einer großen Photographie die perspektivische Konstruktion, so stimmt diese allerdings nicht vollständig genau. Als mittlerer Wert ergibt sich aber für die Distanz, daß sie etwas größer ist als die Breite des Bildes (ungefähr = 1⅐ der Bildbreite). Man beachte aber, welche unvergleichlich großartige Raumwirkung der Künstler durch den Kuppelraum mit den beiden Schiffen und die Vordergrundsszene erzielt. Kleiner als die größere Seite des Bildausschnittes wird man aber die Distanz nicht wählen. [Illustration: Fig. 61.] Auch bei manchen Holländern des 17. Jahrhunderts, z. B. bei +van der Meer van Delft+ (1632--1675), finden wir Interieurs mit kleiner Distanz.[5] So ist bei dem in Abb. 9 wiedergegebenen Bilde, das sich im kgl. Schloß in Windsor befindet und eine Musikstunde darstellt, die Distanz wenig größer als die Höhe des Bildes (etwa 1-1/17 derselben). Man kann aber hier schon die unangenehme Folgeerscheinung beobachten, daß bei solchen Bildern mit kurzer Distanz der Boden im Vordergrund sich nach abwärts zu neigen, sich herunterzuklappen scheint. [5] Man vgl. dazu Hans Jantzen, Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert. S. 52. (ANuG Bd. 373.) 1912. [Illustration: Abb. 10.] =32. Das photographische Bild.= Was die Bilder des photographischen Apparates betrifft, so liefern Objektive mit großer Brennweite Darstellungen, die einer großen Distanz entsprechen, Objektive mit kleiner Brennweite, sogenannte Weitwinkel, geben Bilder mit kleiner Distanz. Die übertriebene Perspektive solcher Weitwinkel erklärt sich abgesehen von der eben erwähnten Wahl eines falschen Standpunkts direkt durch die Wirkung der kleinen Distanz. In der Tat sind _ab_ und _cd_ etwa zwei gleichgroße Objekte, _O_ und _O'_ die Zentren der Perspektive (Fig. 61) und _a'b'_, _c'd'_ ihre Bilder in der durch eine Gerade dargestellten Tafel, so bemerkt man den Unterschied, je nachdem die Distanz klein ist wie in der oberen Figur oder groß wie in der unteren. In der oberen Figur ist _c'd'_ mehr als doppelt so groß wie _a'b'_, in der unteren nicht ganz doppelt so groß. Dadurch daß das fernere Objekt beim Weitwinkel so stark verkleinert wird, erscheint das nähere gleichzeitig unverhältnismäßig groß. Die Abb. 10 gibt uns die Aufnahme einer sitzenden Person, wobei sich der Apparat sehr nahe an der Person befand. Die an und für sich richtige Perspektive führt zu komischen Wirkungen. Doch lassen sich, wie Abb. 11 zeigt, mit dem gleichen Objektiv etwas bessere Bilder erzielen, wenn man nur einen größeren Abstand von dem Objekt wählt. Für Landschaftsaufnahmen sind diese Überlegungen von großer Bedeutung. Ein Weitwinkel läßt ferne, hohe Berge zu unbedeutenden Hügeln zusammenschrumpfen, er treibt den Hintergrund zurück, wie die Photographen sagen, und betont den Vordergrund. Ein Objektiv mit großer Brennweite dagegen gibt ferne Berge groß, es »zieht den Hintergrund nach vorn« und läßt den Vordergrund weniger in die Erscheinung treten. [Illustration: Abb. 11.] § 12. Unzugängliche Distanz- und Fluchtpunkte. =33. Unzugänglicher Distanzpunkt.= Den Augpunkt einer Darstellung werden wir naturgemäß in der Mittellinie des Bildausschnittes annehmen, da man bei Betrachtung eines Bildes doch ganz von selbst vor die Mitte tritt. Dann folgt aber aus unseren Erörterungen und aus den Figuren 55 bis 59 ohne weiteres, daß die Distanzpunkte nicht mehr in dem Bildausschnitt liegen, sondern weit darüber hinaus fallen. Verwendet man also nicht eine viel größere Zeichenfläche, z. B. ein sehr großes Reißbrett, so sind die Distanzpunkte nicht mehr zu erreichen. Das gleiche gilt für Fluchtpunkte horizontaler Geraden, die, wie z. B. schon die Fig. 48 erkennen läßt, häufig weit auf dem Horizont hinausfallen, wenn die Figur nicht absichtlich darnach eingerichtet wird. Es fragt sich nun, wie man +die Konstruktionen, die sich auf solche über die Zeichenfläche hinausfallende Punkte beziehen, trotzdem erledigen kann+. Das ist die wichtigste Aufgabe der praktischen Perspektive. [Illustration: Fig. 62.] Wir wollen zunächst sehen, wie man die Aufgabe 5, also die Konstruktion eines Tiefenmaßstabes, durchführen kann, wenn die Distanzpunkte nicht mehr erreichbar sind. War auf einer gegebenen Tiefenlinie _T_ von ihrer Spur _t_ aus eine Strecke anzutragen, so machten wir auf der Grundlinie _ts_ = dieser Strecke (Fig. 62) und verbanden den Punkt _s_ mit einem Distanzpunkt ~D_{1}~; die Verbindungslinie schnitt aus _T'_ den gesuchten Punkt _p'_ aus (vgl. die frühere Fig. 21 ~b~). Halbieren wir nun aber die Strecke ~AD_{1}~ und bezeichnen die Mitte mit ~D_{1}~/2. Verbinden wir weiter diesen Punkt ~D_{1}~/2 mit _p'_, so möge diese Linie die Grundlinie im Punkte _q_ treffen. Dann gilt die Proportion: _tq_ : _qs_ = ~A~ ~D_{1}~/2 : ~D~ ~D_{1}~/2 = 1 : 1. Es ist mithin auch _q_ die Mitte von _ts_ und _tq_ = _qs_ = _ts_/2. [Illustration: Fig. 63.] Wir können zum Punkte _p'_ also auch gelangen, wenn wir die +halbe+ Strecke _tq_ auf der Grundlinie antragen, den Endpunkt _q_ mit dem Punkte ~D_{1}~/2 verbinden und diese Linie mit _T'_ zum Schnitt bringen. Soll demnach z. B. auf der Tiefenlinie _T'_ ein Maßstab gezeichnet werden, dessen Einheit gegeben ist, und kann man ~D_{1}~/2 noch erreichen (Fig. 63), so tragen wir die halbe Einheit auf der Grundlinie wiederholt ab und projizieren diese Punkte aus ~D_{1}~/2 auf _T'_. Dann erhält man den verlangten Tiefenmaßstab. [Illustration: Fig. 64 ~a~.] [Illustration: Fig. 64 ~b~.] Rückt die Teilung auf der Grundlinie zu weit hinaus, so kann man z. B. durch 2' eine Parallele _l_ zur Grundlinie ziehen und die auf dieser Parallelen ausgeschnittene kleinere Strecke 2'3'' auf _l_ wiederholt antragen und aus ~D_{1}~/2 projizieren. Der Punkt ~D_{1}~/2 heißt ein »Teil-Distanzpunkt«. Selbstverständlich könnte man die ganze Strecke ~AD_{1}~ auch in drei gleiche Teile teilen und den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit ~D_{1}~/3 bezeichnen. Dann hätte man statt der ganzen Strecke bloß den dritten Teil auf der Grundlinie anzutragen. Mit ~D_{1}~/3 verbunden liefern diese Punkte auch wieder den Tiefenmaßstab usf. =34. Unzugängliche Fluchtpunkte.= +Erstes Verfahren.+ Die Ermittlung des Fluchtpunktes einer beliebigen, horizontalen Geraden beruhte wesentlich auf den Überlegungen von (16), die zu der in der Fig. 24 gegebenen Konstruktion führten. Ist nun in dieser Figur der Fluchtpunkt _f_{a}_ nicht zugänglich, so kann man diese Schwierigkeit in folgender Weise umgehen: wir verkleinern die ganze Figur, indem wir sie sich gegen den Punkt ~A~ zusammenziehen lassen. Der aus der Geometrie hierbei anzuwendende Satz ist in den Fig. 64 ~a~ und 64 ~b~ noch eigens veranschaulicht. Es ist hier zu dem Vieleck _abcde_ in folgender Weise ein neues konstruiert worden. Ein Punkt _o_ wird beliebig gewählt und mit allen Ecken _a_, _b_, _c_ ... verbunden. Auf diesen Verbindungslinien werden die Punkte _a'_, _b'_, _c'_ ... dadurch bestimmt, daß man alle Strecken _oa_, _ob_, _oc_ ... im gleichen Verhältnis teilt, also beispielsweise immer _a'o_ = ⅔ _ao_, _b'o_ = ⅔ _bo_, _c'o_ = ⅔ _co_ ... macht. Das neue Vieleck _a'_, _b'_, _c'_ ... hat dann folgende Eigenschaften: ~a~) Entsprechende Seiten der beiden Vielecke sind stets parallel, d.h. es ist _ab_ ∥ _a'b'_, _bc_ ∥ _b'c'_, _cd_ ∥ _c'd'_ usf. ~b~) Alle Verhältnisse der Seiten sind die gleichen, d. h. es ist _ab_ : _bc_ = _a'b'_ : _b'c'_ usf. [Illustration: Fig. 65.] Wenn also z. B. die Seite _ab_ doppelt so groß ist wie _bc_, so ist auch _a'b'_ doppelt so groß wie _b'c'_. Die Figuren _abcde_ und _a'b'c'd'e'_ nennt man +ähnlich+ und +ähnlich liegend+ und _o_ den +Ähnlichkeitspunkt+. Im vorliegenden Falle benutzen wir ~A~ als Ähnlichkeitspunkt. Zunächst ist in Fig. 65 die frühere Konstruktion wiederholt. Auf der Linie von ~A~ nach ~D_{3}~ wählen wir nun einen Punkt ~D_{3}~/3 so, daß ~A~ ~D_{3}~/3 = ⅓ ~AD_{3}~ und verkleinern die ganze Figur auf ein Drittel. [Illustration: Fig. 66.] Wir verbinden also _a_ mit ~A~, teilen diese Linie in drei gleiche Teile und bezeichnen den ersten Teilpunkt von ~A~ aus mit _a_/3, so daß ~A~ _a_/3 = ⅓ ~A~_a_. Ziehen wir dann durch den Punkt ~D_{3}~/3 eine Parallele zu _f_{a}_~D_{3}~, so schneidet diese auf dem Horizont einen Punkt _f_{a}_/3 aus, der die Eigenschaft hat, daß auch ~A~ _f_{a}_/3 = ⅓ ⋅ ~A~_f_{a}_ und es ist weiter dann auch _af_{a}_ ∥ _a_/3 _f_{a}_/3. Hat man die verkleinerte, punktierte Figur gezeichnet, so kann man _A'_ finden, wenn ein Punkt, etwa die Spur _a_, bekannt ist, indem man durch _a_ eine Parallele zu _a_/3 _f_{a}_/3 zieht. Dies ist in der Figur 66 ausgeführt. Vermittels des Punktes ~D_{3}~/3 wurde zunächst _f_{a}_/3 ermittelt, in dem man zur Verschiebung (_A_) der Geraden eine Parallele zog; verschafft man sich weiter die Spur _a_ der Geraden und dazu den Hilfspunkt _a_/3 auf der Verbindungslinie _aA_, so ist das Bild _A'_ parallel zur Linie _a_/3 _f_{a}_/3, kann also als eine Parallele durch _a_ zu dieser Linie gezeichnet werden. Wie stark wir die Figur verjüngen wollen, steht natürlich in unserem Belieben; statt auf ⅓ zu verkleinern, können wir auch die Verjüngung auf ¼ wählen oder bloß auf ½. Nur darf die neue Figur nicht zu klein werden. Wir geben eine praktische Anwendung in der folgenden =Aufgabe 18.= Eine Zimmerecke samt dem quadratisch getäfelten Fußboden darzustellen, wenn der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/4 noch zugänglich ist. Auf der Senkrechten, die im Augpunkt ~A~ zum Horizont gezogen werden kann, nehmen wir den Punkt ~D_{3}~/4 an (Fig. 67); außerdem soll gegeben sein die Eckkante _p'q'_, also die Höhe des Zimmers und die eine Bodenkante _A'_ durch _p'_. Zunächst haben wir eine Linie _B_ der Grundebene zu zeichnen, welche im Punkte _p_ auf _A_ senkrecht steht, vgl. Aufgabe 9. Da ~D_{3}~/4 gegeben und noch zugänglich, verjüngen wir die ganze Figur auf ¼. Dementsprechend verbinden wir den Punkt _p'_ mit ~A~, teilen diese Strecke in 4 gleiche Teile und bezeichnen den ersten an ~A~ gelegenen Teilpunkt mit _p'_/4. Durch diesen Punkt _p'_/4 ziehen wir eine Parallele zur gegebenen Geraden _A'_, welche in _f_{a}_/4 den Horizont treffen möge. Es ist also _p'_/4 _f_{a}_/4 ∥ _A'_. Nun können wir den Punkt _f_{a}_/4 mit ~D_{3}~/4 verbinden und im Punkte ~D_{3}~/4 eine Senkrechte zu dieser Linie zeichnen, welche aus dem Horizont den Punkt _f_{b}_/4 ausschneidet. Verbinden wir _p'_/4 mit diesem Teilfluchtpunkt _f_{b}_/4, so gibt diese Linie die Richtung von =B'=; es ist also: _B'_ ∥ _p'_/4 _f_{b}_/4, womit die zweite Bodenkante konstruiert ist. Die an der Decke laufenden Kanten finden wir, wenn wir zum Punkte _q'_ den Hilfspunkt _q'_/4 zeichnen. Eine Vertikale durch _p'_/4 liefert ihn sofort auf der Verbindungslinie ~A~_q'_. Dadurch sind die Verbindungslinien _q'_/4 _f_{a}_/4 und _q'_/4 _f_{b}_/4 bestimmt und zu ihnen laufen die Deckenkanten durch _q'_ beziehungsweise parallel. [Illustration: Fig. 67.] Man beachte auch, wie sich ein solcher gegen den Beschauer vorspringender rechter Winkel im Bilde darstellt: seine beiden Schenkel laufen von den betreffenden Fluchtpunkten weg. Dagegen kommen bei der Darstellung einer Gebäudeecke, wie in Fig. 53 oder 72, wo der rechte Winkel von außen betrachtet wird, die Teile der Schenkel zur Verwendung, welche die Fluchtpunkte tragen. [Illustration: Fig. 67 ~a~.] Nun sei weiter die Seite _p'_1' eines Quadrates des Fußbodens gegeben. Um diese Teilung auf der Geraden _A'_ fortzusetzen, verfahren wir wie folgt: wir denken uns durch die Punkte 1, 2, 3 ... der Kante _A_ in irgendeiner Richtung parallele Gerade gelegt und bringen diese in I, II, III ... zum Schnitt mit einer parallelen zur Grundlinie, wie die Nebenfigur 67 ~a~ dies andeutet. Dann sind auch die Abschnitte _p_I, I II, II III usf. gleich groß und umgekehrt werden gleich große Abschnitte _p_ 1, 1 2, 2 3 ... auf _A_ erzeugt, wenn man durch gleich große Strecken _p_I, I II, II III ... die Parallelen legt. Im Bilde gehen diese Parallelen dann in Linien über, welche durch einen Punkt des Horizonts laufen. Dementsprechend ziehen wir durch _p'_ eine Parallele zur Grundlinie und wählen als Punkt des Horizontes etwa ~A~. Die Verbindungslinie von 1' nach ~A~ schneidet auf der Parallelen den Punkt I aus und wir machen _p'_I = I II = II III ... Dann liefern die Punkte II, III aus ~A~ projiziert die Bilder 2', 3' ... 6'. Um die durch diese Punkte gehenden Fußbodenlinien zu finden, verschaffen wir uns die zugehörigen Hilfspunkte. Verbinden wir z. B. 6' mit ~A~, so erhalten wir auf der Linie _p'_/4 _f_{a}_/4 den entsprechenden Hilfspunkt 6'/4. Die durch 6' gehende Linie des Fußbodenmusters ist dann aber parallel zur Verbindungslinie des Punktes 6'/4 mit dem Punkte _f_{b}_/4. Die zweite Schar von Parallelen des Fußbodens wollen wir unter Benutzung des Diagonalpunktes (vgl. S. 57) zeichnen. Halbieren wir den Winkel bei ~D_{3}~/4, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Teil-Diagonalpunkt ~D~_{_g_}/4 aus. Daraus erhalten wir demnach den Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst, wenn wir ~AD~_{_g_} = 4 ⋅ ~A~ ~D~_{_g_}/4 machen, also die Strecke ~A~ ~D~_{_g_}/4 noch dreimal von ~D~_{_g_}/4 aus nach links antragen. Durch _D_{g}_ laufen dann aber alle Diagonalen der einen Art in den Quadraten des Fußbodens, so daß dieser leicht gezeichnet werden kann. Gleichzeitig ergeben sich viele Kontrollen. =35. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Zweites Verfahren. Wir wollen für die Aufgabe 9 noch eine Lösung geben, die auch wieder auf dem Gedanken beruht, an Stelle der ursprünglichen Figur eine verkleinerte, ähnliche zu benutzen. [Illustration: Fig. 68.] Ist _F_{a}_ der Fluchtpunkt der gegebenen Geraden _A'_, auf welcher im Punkt _p'_ eine Senkrechte _B'_ errichtet werden soll, so konstruieren wir z. B. den Punkt ~D_{4}~ (Fig. 68) und tragen im Punkte ~D₄~ einen rechten Winkel von _F_{a}_~D_{4}~ aus an; dann schnitt der zweite Schenkel dieses rechten Winkels den Fluchtpunkt _F_{b}_ aus, so daß die gesuchte Gerade _B'_ den Punkt _p'_ mit _F_{b}_ verband. Fällt nun aber _F_{a}_ nicht mehr auf das Zeichenblatt, so führen wir einen neuen Horizont hh ein, der parallel zu _hh_ so gewählt sei, daß sich mit _A'_ ein erreichbarer Schnittpunkt _f_{a}_ ergibt. Die ganze Figur lassen wir sich jetzt um +den Punkt+ _p'_ zusammenziehen, so daß _hh_ in hh übergeht. Wir konstruieren also eine kleinere ähnliche Figur mit _p'_ als Ähnlichkeitspunkt. Die Punkte dieser neuen Figur bezeichnen wir mit den entsprechenden kleinen Buchstaben. Zunächst liefern _D_{1}_, ~A~ und _F_{b}_ aus _p'_ auf hh projiziert die Punkte _d_{1}_, _a_ und _f_{b}_. Ferner sind in ähnlichen und ähnlich liegenden Figuren entsprechende Gerade stets parallel (S. 78). Ziehen wir also durch _a_ eine Parallele zur Linie ~AD_{4}~, so schneidet diese auf der Verbindungsgeraden _p'_~D_{4}~ den entsprechenden Punkt _d_{4}_ aus und es ist dann _f_{a}d_{4}_ ∥ _F_{a}_~D_{4}~ und _f_{b}d_{4}_ ∥ _F_{b}_~D_{4}~. Nun ist in der großen Figur ~AD_{1}~ = ~AD_{4}~, also ist auch in der verkleinerten Figur _ad_{1}_ = _ad_{4}_. Wir wollen jetzt annehmen, daß auch der Punkt ~D_{1}~ nicht mehr auf das Zeichenblatt fällt, wohl aber der Teil-Distanzpunkt ~D_{1}~/2. Konstruieren wir auch zu ihm den entsprechenden Punkt _d_{1}_/2, so ist _d_{1}_ _d_{1}_/2 = _a_ _d_{1}_/2 und weiter _ad_{4}_ = 2 ⋅ _a_ _d_{1}_/2. Daraus ergibt sich folgende Konstruktion (Fig. 69). [Illustration: Fig. 69.] Wir zeichnen den neuen Horizont hh, welcher die gegebene Gerade _A'_ in _f_{a}_ und die Verbindungslinie von _p'_ nach ~A~ in _a_ trifft. Dann errichten wir zu _a_ eine Senkrechte in hh und machen diese doppelt so groß als die Strecke _a_ _d_{1}_/2. Ist _d_{4}_ der zweite Endpunkt dieser Senkrechten, so ist also _ad_{4}_ = 2 _a_ _d_{1}_/2. An die Verbindungslinie _f_{a}d_{4}_ tragen wir einen rechten Winkel an, dessen zweiter Schenkel den Horizont hh in _f_{b}_ schneidet. Das Bild _B'_ der gesuchten Senkrechten verbindet nun den Punkt _p'_ mit _f_{b}_. Man kann diese Figur auch benutzen, um z. B. den Diagonalpunkt zu ermitteln, wenn man sich den rechten Winkel zu einem Quadrat ergänzt denkt. Wir dürfen ja nur den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren, so liefert uns die Halbierungslinie auf hh den Hilfspunkt _d_{g}_ und wenn wir diesen mit _p'_ verbinden, so schneidet diese Linie auf dem Horizont den Diagonalpunkt ~D~_{_g_} selbst aus. Der Beweis ergibt sich leicht aus der Figur 68, denn es ist _d_{4}d_{g}_ ∥ ~D_{4}D~_{_g_} und da ~D_{4}D~_{_g_} den Winkel _F_{a_}~D_{4}~_F_{b}_ halbiert, so muß die Parallele den Winkel _f_{a}d_{4}f_{b}_ halbieren. =36. Unzugängliche Fluchtpunkte.= Drittes Verfahren. Das Wesentliche an den eben durchgeführten Betrachtungen bestand darin, daß wir gelernt haben, das Bild eines rechten Winkels zu zeichnen auch dann, wenn die beiden Fluchtpunkte seiner Schenkel unzugänglich waren. Ist nun das Bild eines solchen Winkels gegeben, so kommt es häufig vor, daß man weitere Linien nach den unzugänglichen Fluchtpunkten zu ziehen hat. Wir behandeln dementsprechend die =Aufgabe 19.= Ein Punkt ist gegeben als der nicht zugängliche Schnittpunkt zweier Geraden _G'_ und _hh_ (Fig. 71); man zeichne die Linie, welche diesen unzugänglichen Punkt mit einem weiter gegebenen Punkte _p'_ verbindet. [Illustration: Fig. 70.] Die Lösung gelingt leicht, wenn wir uns an einen bekannten Satz der Geometrie erinnern. Schneidet man drei durch einen Punkt _s_ gehende Gerade _A_, _B_, _C_ mit irgend zwei parallelen Geraden, so werden die beiden Parallelen in gleichem Verhältnis geteilt, d. h. es ist Fig. 70 _ab_ : _bc_ = _de_ : _ef_. Teilt man umgekehrt die zwei Parallelen im gleichen Verhältnis, so daß also diese Gleichung erfüllt ist, so geht die Verbindungslinie _be_ durch den Schnittpunkt _s_ der beiden Geraden hindurch. [Illustration: Fig. 71.] Man kann diese beiden Sätze auch in folgender Weise ausdrücken: Teilt man die Strecke _de_ beispielsweise in vier gleiche Teile und verbindet die Teilpunkte 2, 3, 4 mit _s_, so wird auch die Strecke _ab_ in vier gleiche Teile geteilt. Setzt man beide Teilungen auf den Parallelen fort, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte immer durch _s_. Daraus ergibt sich für die obige Aufgabe folgende Lösung (Fig. 71). Wir ziehen durch den gegebenen Punkt _p'_ irgendeine Linie _df_ und zu ihr in nicht zu geringer Entfernung eine Parallele, welche in _a_ und _c_ die zwei Geraden trifft. Durch _p'_ werde eine Parallele zu _hh_ gelegt, welche die Verbindungslinie _cd_ in _g_ schneidet. Durch diesen Punkt _g_ ziehen wir eine Parallele zu _G'_ und erhalten auf _ac_ den Punkt _b_. Dann geht die Verbindungslinie _p'b_ durch den unzugänglichen Schnitt von _G'_ und _hh_ hindurch, ist also die verlangte. Denn wir entnehmen unmittelbar aus der Figur: _ab_ : _bc_ = _dg_ : _gc_ und _dg_ : _gc_ = _dp'_ : _p'f_ folglich auch _ab_ : _bc_= _dp'_ : _p'f_. [Illustration: Fig. 72.] Ist eine größere Zahl von Linien nach einem unzugänglichen Punkte zu zeichnen, so wäre das eben beschriebene Verfahren zu umständlich. Man wird dann den zweiten oben angeführten Satz benutzen, um solche Linien zu erhalten. Das folgende Beispiel mag dies erläutern. =Aufgabe 20.= Gegeben ist das Bild eines rechten Winkels bei _p'_ (vordere Ecke eines Gebäudes); man zeichne Parallelen zu den Schenkeln dieses Winkels. Wir verlängern die durch _p'_ gehende Vertikale, die Vorderkante des Gebäudes, bis sie in _p_{0}_ den Horizont trifft (Fig. 72), ferner wählen wir rechts und links am Rande die Punkte _q'_ und _r'_ auf den Schenkeln des rechten Winkels und ziehen durch sie die Senkrechten _r'r_{0}_ und _q'q_{0}_ bis zum Horizont. Teilen wir die drei Strecken _p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ in eine gleiche Anzahl von Teilen, z. B. jede in vier Teile, so gehen die Verbindungslinien gleich numerierter Punkte bzw. durch die Fluchtpunkte des rechten Winkels. Setzt man die Teilungen auf den Geraden _p'p_{0}_, _q'q_{0}_, _r'r_{0}_ über den Horizont hinaus fort, so gehen auch die Verbindungslinien 6.6, 7.7 usf. wieder durch die unzugänglichen Fluchtpunkte. Die Linien 7.7 mögen das Gebäude unten abschließen. Man erhält aber weiter auch Linien durch die Fluchtpunkte, wenn man entsprechende Abschnitte wiederum in gleichviel Teile teilt, also beispielsweise von den Strecken 1.2 je das an den Punkten 2 gelegene Drittel nimmt. (Siehe Figur.) Hat man dann durch einen vorgegebenen Punkt eine Linie nach einem der zugänglichen Fluchtpunkte zu zeichnen, so kann man das nach dem +Augenmaß ausführen+, indem man das Lineal so anlegt, daß es gleichnumerierte Strecken im gleichen Verhältnis teilt. Die genaue Lösung dieser Aufgabe haben wir ja in der Aufgabe 19 gegeben. Auf der linken Seite der Figur sind noch zwei Fensterreihen eingezeichnet. Das erste an der Vorderkante _p'p_{0}_ gelegene Fenster wurde willkürlich angenommen; die anderen Fenster sollen ebensogroß sein und voneinander ebensoweit abstehen als das erste Fenster von der Kante _p'p_{0}_ entfernt ist. Wir bringen die vertikalen Kanten der Fenster mit der Linie 7.7 zum Schnitt und verfahren nun ebenso wie in 34. (Fig. 67 ~a~.) Als beliebiger Punkt auf dem Horizont wurde 5 gewählt. Dadurch erhalten wir auf der durch 7 gezogenen Parallele zum Horizont zwei Strecken, die abwechselnd angetragen die Fenster liefern. Auf der rechten Seite des Gebäudes ist ebenso eine Tür und ein Fenster konstruiert. Endlich mag noch erwähnt werden, daß es auch eigene Apparate, sogenannte »Fluchtpunkt-Lineale«, gibt, um Gerade nach unzugänglichen Punkte damit zu zeichnen. § 13. Gleichzeitige Anwendung der verschiedenen Methoden. =37. Verbindung der Schnittmethode mit den Fluchtpunktmethoden.= Wir können aber auch die früher behandelte Schnittmethode (vgl. 8) mit den Konstruktionen, die sich aus der Benutzung der Fluchtpunkte ergeben (17, 18 u. f.), verbinden und erhalten dadurch das für Darstellung architektonischer Objekte brauchbarste Verfahren. Wir werden dasselbe am besten an einem Beispiele kennen lernen: =Aufgabe 21.= Ein Postament ist durch Grund- und Aufriß gegeben (Fig. 73); die neue Bildebene, in der eine Perspektive dieses Objektes entworfen werden soll, steht auf der Grundrißebene senkrecht, geht durch die Achse des Postaments und mag durch die Linie _h_{1}h_{1}_ bestimmt sein. Außerdem sind der Augpunkt ~A~ und der Horizont _hh_ je durch ihre Risse gegeben. Man zeichne das Bild des Körpers, wenn die Distanz 12 ~cm~ beträgt. Wir wählen in der neuen Darstellung die Grundlinie _gg_ und darüber in der durch den Aufriß gegebenen Höhe den Horizont _hh_ (Fig. 74) und auf ihm den Augpunkt ~A~. Dann zeichnen wir den +Schnitt+ der Bildebene mit dem Körper, was unter Benutzung der Schnittpunkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 von _h_{1}h_{1}_ mit dem Grundriß und unter Heranziehung des Aufrisses leicht geschehen kann. Denn die durch ~A~ gelegte Vertikale ist die Achse des Körpers. Schneidet sie die Grundlinie in _n_, so machen wir _nx_ = ~A_{1}~1. In _x_ zeichnen wir wieder die Senkrechte und machen _xy_ gleich der aus dem Aufriß zu entnehmenden Höhe des Sockels usf. Auf diese Art erhält man die Schnittfigur der Bildebene mit dem Körper, die in Fig. 74 durch Schraffierung am Rande hervorgehoben ist. [Illustration: Fig. 73.] Um jetzt den Grundriß des Körpers in das Bild zu übertragen, verfahren wir in folgender Weise: Wir führen eine Parallelebene zur Grundrißebene ein, welche aus der Bildebene die Parallele _ll_ zum Horizont ausschneiden möge. In diese neue Ebene projizieren wir den Grundriß. Das kommt darauf hinaus, daß der Grundriß um das Stück _hl_ in die Höhe geschoben wird. Wir zeichnen nun zunächst das Bild dieses verschobenen Grundrisses. Der Grundriß besteht aus zwei Systemen paralleler Geraden und wir werden die beiden Fluchtpunkte zu ermitteln haben, die zu diesen Parallelen gehören. Wir errichten in Fig. 73 im Punkte ~A_{1}~ eine Senkrechte zu _h_{1}h_{1}_ und tragen auf ihr etwa ein Viertel der Distanz an, machen also ~A_{1}~ _O_{1}_/4 = 3 ~cm~. Ziehen wir sodann durch _O_{1}_/4 eine Parallele zu 5.6, so schneidet diese auf dem Horizont den Riß des Teilfluchtpunktes _F_{a}_/4 aus. Demnach erhalten wir in Fig. 74 den Fluchtpunkt _F_{a}_, indem wir ~A~_F_{a}_ = 4 ~A_{1}~ _F_{a}_/4 auf dem Horizont antragen. Der Fluchtpunkt _F_{b}_ der anderen Richtung 6.3, der weit über die Zeichenebene hinausfällt, möge nach der in 35 erörterten Methode bestimmt werden. Wir ziehen durch _F_{a}_ irgendeine Linie, wählen auf ihr den Punkt _p'_ beliebig und zeichnen einen neuen Horizont, der in _f_{a}_ die Linie von _F_{a}_ nach _p'_ trifft. Nun ermitteln wir eine horizontale Linie, welche im Punkte _p_ auf der Linie _F_{a}p_ senkrecht steht. (Aufgabe 9.) Zunächst zeichnen wir den Teildistanzpunkt ~D_{1}~/4, indem wir aus Fig. 73 die Strecke ~A_{1}~ _O_{1}_/4 entnehmen und ~A~ ~D_{1}~/4 = ~A_{1}~ _O_{1}_/4 antragen. Dann mögen die Verbindungslinien von _p'_ nach ~A~ und ~D_{1}~/4 den neuen Horizont in _a_ und _d_{1}_/4 treffen. Wir errichten gemäß der früheren Ableitung in _a_ eine Senkrechte zum neuen Horizont und machen dieselbe viermal so lang als die Strecke _a d_{1}_/4, so daß also _ad_{4}_ = 4 ⋅ _a d_{1}_/4. Verbinden wir _d_{4}_ mit _f_{a}_, so schneidet eine Senkrechte zu dieser Linie im Punkte _d_{4}_ den Punkt _f_{b}_ aus und die Verbindungslinie von _f_{b}_ mit _p'_ geht nach dem Fluchtpunkte _F_{b}_. Weitere Linien nach _F_{b}_ können wir nach dem dritten in 36 angegebenen Verfahren ermitteln. Zu diesem Zwecke sind in der Figur rechts und links zwei Vertikale gezeichnet. Die Verbindungslinie _p'f_{b}_ schneidet auf diesen die Punkte 0 aus; die Abschnitte bis zum Horizont sind rechts und links je in zwölf gleiche Teile geteilt; alle Linien nach _F_{b}_ teilen entsprechende Abschnitte der beiden Vertikalen im gleichen Verhältnis. Es braucht wohl kaum bemerkt zu werden, daß die Nummern auf den beiden Vertikalen bloß dem Zwecke dienen, Linien nach dem Fluchtpunkt _F_{b}_ zu liefern, und daß diese Nummern ganz unabhängig sind von den übrigen Ziffern der Figur. Die Konstruktion des Bildes des verschobenen Grundrisses kann nun wie folgt erfolgen. Die Punkte 1, 7, 13, 14, 8, 2 auf der Linie _ll_ ergeben sich sofort, indem man die entsprechenden Strecken von _h_{1}h_{1}_ überträgt. Ist also _m_ der Schnittpunkt der Achse des Körpers mit _ll_, so ist _m_1 = ~A_{1}~1, _m_7 = ~A_{1}~7 usf. [Illustration: Fig. 74.] Verbinden wir dann die Punkte 1 und 2 mit _F_{a}_, so sind dies zwei Seiten des äußeren Viereckes. Die auf der Linie von 2 nach _F_{a}_ gelegenen Ecken 3 und 4 bestimmen wir nun etwa durch Tiefenlinien. Wir zeichnen zunächst im Grundriß (Fig. 73) die Senkrechte durch 3 zu _h_{1}h_{1}_, welche in _s_{1}_ die Bildtafel trifft. Machen wir in Fig. 74 _ms_ = ~A_{1}~_s_{1}_, so ist _s_ die Spur in der Parallelebene und ~A~_s_ das Bild der Tiefenlinie. Diese Linie _As_ schneidet dann auf der Linie 2._F_{a}_ den Punkt 3' aus. Ebenso mag man die übrigen Ecken 4', 5', 6' ermitteln und es nun als Kontrolle benutzen, daß 4'.5' und 3'.6' durch _F_{b}_ gehen müssen. Man kann auch die Spuren der Geraden, soweit sie bequem erreichbar sind, hinzunehmen. Um das Bild des zweiten Vierecks 9, 10, 11, 12 zu zeichnen, ist im Grundriß die Spur _t_{1}_ der Linie 9. 12 gezeichnet. Machen wir in Fig. 74 _mt_ = ~A_{1}~_t_{1}_, so ist _t_ die Spur der Linie 9. 12 und 9'. 12' geht verlängert durch _t_. Endlich können wir auch noch die Eigenschaft verwenden, daß die Verbindungslinien 5'.3', 6'.4', 9'.11', 10'.12' usf. alle durch _m_ gehen müssen. Ist auf diese Art das Bild des verschobenen Grundrisses oben konstruiert, so liefern die Vertikalen durch die Ecken 3', 4', 5', 6' usf. je einen ersten Ort, auf dem die Bilder des Grundrisses selbst gelegen sein müssen. Unter Benutzung der Schnittfigur mit der Bildebene ist das Bild des Körpers dann aber leicht fertigzustellen. So liefert z. B. der Punkt _x_ mit _F_{a}_ verbunden die untere, linke Kante des Sockels und die Senkrechten durch 5' und 6' schneiden auf ihr die betreffenden Ecken aus. Wie wir bei dieser Aufgabe die Grundebene nach +oben+ verschoben (Deckenriß), so kann man unter Umständen auch unterhalb der Grundebene eine Parallelebene wählen, in diese den Grundriß projizieren (sog. Kellergrundriß) und dessen Bild zur Konstruktion benutzen. § 14. Die Darstellung des Kreises. =38. Der Kreis in einer zur Tafel parallelen Ebene.= Bis jetzt haben wir uns immer mit der Abbildung gerader Linien beschäftigt, wobei uns die Eigenschaft zustatten kam, daß das Bild einer geraden Linie wieder eine Gerade ist. Wir wollen nun auch das Bild einer krummen Linie zeichnen, nämlich das des Kreises. Es ist dann allerdings nötig, daß wir uns von einer Anzahl von Punkten, die auf dem Kreise angenommen werden, die Bilder zeichnen und diese durch einen Linienzug verbinden. Wir wollen mit dem einfachsten Falle beginnen, der sich ergibt, wenn das Bild des gegebenen Kreises wieder ein Kreis ist. [Illustration: Fig. 75.] Der abzubildende Kreis liege in einer zur Tafel parallelen Ebene (Fig. 75). Die vom Auge nach den Punkten des Kreises gehenden Sehstrahlen bilden einen Kegel, der die Tafel nach einer Figur schneiden muß, die zu dem gegebenen Kreise ähnlich ist (S. 45); diese Schnittfigur ist also selbst wieder ein Kreis. Der Mittelpunkt des gegebenen Kreises bildet sich wieder in den Mittelpunkt des neuen Kreises ab, der Radius des neuen Kreises wird je nach der Entfernung des gegebenen Kreises verschieden verkürzt werden. Wir führen die Konstruktion durch an folgender =Aufgabe 22=. Ein Punkt _m_ ist gegeben durch sein Bild _m'_ und durch die Spur _a_ der durch ihn gehenden Tiefenlinie _A_ (Fig. 76). Man zeichne das Bild des Kreises, der um _m_ mit gegebenem Radius _r_ beschrieben wird und in einer zur Tafel parallelen Ebene liegt. [Illustration: Fig. 76.] Auf dem Bilde _A'_ der Tiefenlinie _A_ ist die Spur _a_ von _A_ und das Bild _m'_ des Mittelpunktes gegeben. Wir denken uns (Fig. 75) den Durchmesser _np_ des Kreises gezogen, der zum Horizont parallel läuft, und ziehen durch seine beiden Endpunkte _n_ und _p_ die Tiefenlinien _B_ und _C_. Die Spuren _b_ und _c_ dieser beiden Tiefenlinien erhalten wir in Fig. 76 ohne weiteres, wenn wir durch _a_ eine Parallele zum Horizont ziehen und auf dieser Parallelen _ab_ und _ac_ je gleich dem gegebenen Radius _r_ des Kreises antragen. Verbinden wir _b_ und _c_ mit ~A~, so sind dies die Bilder _B'_ und _C'_ der Tiefenlinien _B_ und _C_ und sie schneiden auf der Parallelen durch _m'_ zum Horizont die Punkte _n'_ und _p'_ aus. _n'p'_ ist der Durchmesser des Bildes des Kreises, das also daraus gezeichnet werden kann. Als Anwendung dieser Konstruktion geben wir in Fig. 77 das Bild einer ringförmigen Platte, die mit ihrer vorderen Fläche in der Bildtafel liegt, _m_ ist der Mittelpunkt für die beiden vorderen Kreise. Ziehen wir durch _m_ die Parallele zum Horizont und tragen auf ihr eine Strecke _mx_ ab, welche gleich der gegebenen Dicke der Platte ist, so liefert _x_ mit D_{1} verbunden auf der Linie _m_A den Punkt _t'_, welcher der Mittelpunkt für die beiden rückwärtigen Kreise ist; deren Radien ergeben sich wie in Fig. 76. [Illustration: Fig. 77.] =39. Der Kreis in einer Horizontalebene.= Wir gehen nun zu dem Falle über, daß der abzubildende Kreis in einer horizontalen Ebene gelegen ist, z. B. in der Grundebene. Es sei zu behandeln folgende =Aufgabe 23.= Ein Kreis von gegebenem Radius liegt in der Grundebene so, daß er die Grundlinie berührt. Das Bild des Kreises zu zeichnen. [Illustration: Fig. 78.] Die Fig. 78 zeigt die Anordnung im Raume; in Fig. 79 ist der Kreis in der Verschiebung gezeichnet. Es ist nun vorteilhaft, sich nicht nur Punkte des Bildes zu verschaffen, sondern auch Linien, welche das Bild berühren, sogenannte Berührungslinien oder »Tangenten«. Zu diesem Zwecke umschreiben wir dem Kreise das Quadrat (1)(2)(3)(4), dessen Seiten den Kreis in den Punkten (5), (6), (7) und (8) berühren. Das Bild dieses Quadrates ist leicht zu zeichnen, (1)(4) und (2)(3) sind Tiefenlinien; ihre Bilder laufen also nach A; die Linie (2)(4) aber geht im Bilde nach dem linksseitigen Distanzpunkte D_{1} (vgl. 14). Ferner ist auch (6)(8) eine Tiefenlinie und ihr Bild schneidet auf der Linie 2.4' das Bild _m'_ des Punktes _m_ aus. Die Linie (5)(7) geht in eine Parallele durch _m'_ über, welche auf den Linien 1.4' und 2.3' die Punkte 5' und 7' liefert. Das Bild des Kreises wird in diesem Falle eine Ellipse, welche dem Vierecke 1 2 3' 4' einbeschrieben ist und dessen Seiten in den Punkten 6, 7', 8', 5' berührt. [Illustration: Fig. 79.] Ohne Beweis sei erwähnt, daß _m'_ nicht der »Mittelpunkt« der Ellipse ist, daß dieser vielmehr in die Mitte der Strecke 6.8' fällt. Bringt man die Diagonalen (2)(4) und (1)(3) des Quadrates mit dem Kreise zum Schnitt, so erhält man die Punkte 9, 10, 11, 12 und auch deren Bilder 9', 10', 11', 12' lassen sich leicht ermitteln, da (9) und (10) sowie (11) und (12) je auf einer Tiefenlinie liegen. Sich noch weitere Punkte der Ellipse aus den Punkten des Kreises zu verschaffen ist gar nicht nötig. Es wird nützlich sein, wenn der Leser sich auch das Bild eines Kreises zeichnet, der auf der rechten Seite des Hauptpunktes gelegen ist. Die Figur ist dann weiter benutzt, um das Bild eines Umdrehungs-Zylinders, also einer Walze, zu zeichnen. Ist die Höhe des Zylinders durch die Strecke 6.6^* gegeben, so schneidet die Deckfläche des Zylinders die Bildebene in der Linie _ll_, welche durch 6^* parallel zur Grundlinie geht. Die Konstruktion des Bildes des Deckkreises des Zylinders erfolgt genau in der gleichen Weise; entsprechende Punkte z. B. 3' und 3'^* liegen übrigens immer auf Vertikalen, was viele Kontrollen liefert. Endlich wird das Bild des Zylinders vollendet, indem man auf beiden Seiten die berührenden Vertikalen an beide Ellipsen zeichnet. =40. Der Kreis in einer vertikalen Tiefenebene.= In ganz ähnlicher Weise wie ein horizontaler Kreis kann auch ein Kreis abgebildet werden, der in einer lotrechten Tiefenebene liegt. Wir behandeln diesen Fall in der folgenden =Aufgabe 24.= In einer lotrechten Tiefenebene, die durch ihre Spur S gegeben ist, liegt ein Kreis von gegebenem Radius, der die Grundebene und die Bildtafel berührt. Das Bild dieses Kreises zu zeichnen. [Illustration: Fig. 80.] Die Figur 78 zeigt rückwärts den Kreis in seiner Lage gegen Grundebene und Bildtafel. Wir umschreiben demselben wieder das Quadrat 1 2 3 4, von dem die Seite 1.2 in der Spur _S_ der Ebene, 1.4 in der Grundebene liegt. Um den Kreis auch in seiner wahren Gestalt vor uns haben, denken wir uns seine Ebene wie eine Türe nach außen um die Spur _S_ in die Bildebene hineingedreht, wie dies der Pfeil in Figur 78 andeutet. In dieser Lage ist der Kreis, sowie das umschriebene Quadrat 1 2 (3) (4) in Fig. 80 gezeichnet. Das Bild des Kreises ergibt sich dann wie folgt. Die Tiefenlinien 1.4 und 2.3 haben als Bilder die Linien von 1 nach A und von 2 nach A. Die letzte Quadratseite 3.4 kann ferner durch folgende Überlegung gefunden werden. Ziehen wir die Diagonale 1.3, welche durch den Mittelpunkt _m_ geht, so ist diese Linie unter 45° gegen die Grundebene geneigt. Die Parallele durch _O_ zu dieser Linie schneidet den Fluchtpunkt derselben aus und derselbe muß nach Satz 24 auf der Senkrechten durch ~A~ liegen und von ~A~ um die Distanz abstehen. Der Fluchtpunkt ist also der schon früher gezeichnete Punkt ~D_{4}~. Ganz ebenso ergibt sich als Fluchtpunkt der anderen Diagonale 2.4 der Punkt ~D_{3}~, der in Fig. 80 eingezeichnet ist. Wenn wir also in Fig. 80 die Linien 1.~D_{4}~ 2.~D_{3}~ ziehen, so schneiden diese auf den Bildern 2.~A~ und 1.~A~ die Bilder 3' und 4' aus. Zur Probe dient, daß 3'.4' lotrecht sein muß. Ferner ist der Schnittpunkt von 1.~D_{4}~ und 2.~D_{3}~ das Bild _m'_. Die Vertikale durch _m'_ liefert auf den Linien 2.~A~ und 1.~A~ die Berührungspunkte 5' und 7'; die Linie 6.~A~ muß von selbst durch _m'_ gehen und gibt den Berührungspunkt 8'. [Illustration: Fig. 81.] In dem hier vorliegenden Falle ist das Bild des Kreises wieder eine Ellipse; _m'_ ist nicht ihr Mittelpunkt; derselbe liegt vielmehr auf der Linie 6.8' in der Mitte zwischen 6 und 8'. Die Bilder der Punkte 9, 10 usw. lassen sich wie im vorigen Falle bestimmen. Auch die Tangente im Punkte 9' an die Ellipse ist leicht zu zeichnen. Da nämlich die Tangente im Punkte 9 an den Kreis parallel zur Linie 1.(3) verläuft, so muß das Bild dieser Tangente nach D_{4} fliehen, also ist die Linie 9'.D_{4} diese Tangente. Als Anwendung dieser Aufgabe geben wir in Fig. 81 das Bild eines Rundbogens, der in einer lotrechten Tiefenebene gelegen ist; _S_ sei die Spur dieser Tiefenebene. Von dem Rundbogen ist links oben die Hälfte in der Umlegung in die Tafel gegeben. Zur Konstruktion soll der Teildistanzpunkt D_{1}/2 verwendet werden. Tragen wir die Hälfte der Strecke 1(_m_) auf der Horizontalen durch 1 nach rechts ab und verbinden den Endpunkt mit D_{1}/2, so erhalten wir (Aufg. 4) auf der Tiefenlinie 1.A das Bild _m'_; in entsprechender Weise ergeben sich für die weiteren Punkte (3) ... die Bilder. Die Parallele durch (2) schneidet _S_ in einem Punkte, der mit A verbunden die Berührungslinie im Scheitel 2' des Bogens liefert, wobei 2' auf der Vertikalen durch _m'_ gelegen ist. Der ganze Rundbogen ist dann in 7 gleiche Teile geteilt und es sind die Bilder der Fugen eingetragen. Diese Fugen laufen alle durch _m'_. Schließlich sei noch erwähnt, daß das Bild eines Kreises nicht immer eine Ellipse zu sein braucht, sondern auch eine sogenannte »+Hyperbel+« oder eine »+Parabel+« sein kann, worauf wir aber nicht weiter eingehen können. § 15. Einfache Schattenkonstruktionen. =41. Schatten bei parallelem Lichte.= Die undurchsichtigen Körper haben die Eigenschaft, daß sie das auf sie fallende Licht irgendeiner Lichtquelle nicht durchgehen lassen, sondern es aufhalten oder verschlucken (absorbieren), so daß sich hinter dem Körper ein lichtleerer Raum, der +Schatten+, ausbildet. Indem wir den Unterschied von Licht und Schatten auch im Bilde etwa durch Schraffierung der beschatteten Teile einigermaßen wiedergeben, erreichen wir eine größere Naturtreue. [Illustration: Fig. 82.] Was die Lichtquelle betrifft, so wollen wir uns vorstellen, die Sonne ziehe sich zu einem Punkte zusammen, etwa auf ihren Mittelpunkt, und stehe außerdem fest am Himmel. Die dann entstehende Beleuchtung können wir durch folgende Bestimmung ersetzen. Wir geben uns eine Gerade _s_ beliebig im Raume (Fig. 82) und nehmen an, daß alle Lichtstrahlen zu dieser Geraden s parallel sind. Der ganze Raum ist erfüllt von diesen parallelen Lichtstrahlen. Wir nennen dies eine »Beleuchtung durch parallele Lichtstrahlen«. Es sei jetzt eine Stange _pq_ gegeben, die auf der Grundebene senkrecht steht (Fig. 82). Wie können wir den Schatten ermitteln, den sie in die Grundebene wirft? Alle auf die Gerade _pq_ treffenden Lichtstrahlen werden aufgehalten und bilden fortgesetzt eben den Schatten der Geraden _pq_. Wir haben demnach durch die Punkte der Geraden _pq_ die parallelen zur Geraden _s_ zu zeichnen. Alle diese Parallelen liegen aber, wie man leicht erkennt, in einer Ebene und diese Ebene schneidet aus der Grundebene den Schatten der Geraden _pq_ aus, der also eine Gerade ist. Offenbar geht dieser Schatten durch den Fußpunkt _q_ der Stange. Das Ende des Schattens aber erhalten wir, wenn wir durch den Endpunkt _p_ den Lichtstrahl legen. Trifft dieser in _p_{*}_ die Grundebene, so ist _p_{*}_ der Schatten des Punktes _p_ und _qp_{*}_ wird der Schatten der Geraden _pq_. Im Gegensatz zu dem Schatten, den die Gerade _pq_ unter Umständen auf andere Körper wirft, nennen wir den Schatten _qp_{*}_ auf der Grundebene den »+Grundschatten+«. Eine zweite, ebenfalls auf der Grundebene senkrechte Gerade _rt_ liefert ganz in der gleichen Weise den Grundschatten _tr_{*}_ und man sieht ohne Mühe ein, daß _tr_{*}_ ∥ _qp_{*}_. Allgemein kann man sagen: =Satz 26.= »+Parallele Gerade liefern parallele Grundschatten auf der Grundebene.+« [Illustration: Fig. 83.] Weiter handelt es sich nun darum, die Bilder dieser Schatten zu zeichnen. Wir beachten zu diesem Zwecke, daß die Lichtstrahlen parallele, schiefe Gerade sind, wie wir sie im § 9 betrachtet haben. Diese parallelen Geraden haben also einen Fluchtpunkt, den wir erhalten, wenn wir durch das Auge _O_ eine Parallele zur Geraden _s_ ziehen und den Schnittpunkt ~S~ dieser Parallelen mit der Tafel ermitteln. Hat der in _O_ befindliche Beschauer die (punktförmige) Lichtquelle im Rücken, so befindet sich der Fluchtpunkt ~S~ +unterhalb+ des Horizonts. Fällen wir von ~S~ aus in der Bildebene eine Senkrechte zum Horizont und nennen ~S~_{_h_} ihren Fußpunkt, so können wir die Betrachtung von 27 ohne weiteres auch hier anwenden und sehen, daß _OS_{h}_ ∥ _qp_{*}_ ∥ _tr_{*}_. [Illustration: Fig. 84.] Mit anderen Worten: =Satz 27.= »+Der Punkt ~S~_{_h_}, die Projektion des Fluchtpunktes ~S~ der parallelen Lichtstrahlen auf den Horizont, ist der Fluchtpunkt der Grundschatten.+« Die Bilder der Grundschatten fliehen also alle nach ~S_{h}~ (Satz 23). Damit erledigt sich nun leicht folgende =Aufgabe 25.= Eine auf der Grundebene senkrechte Gerade _pq_ ist im Bilde gegeben; man zeichne ihren Grundschatten, wenn das parallele Licht durch den Punkt ~S~ gegeben ist. Durch die Annahme des Punktes ~S~ (Fig. 83) ist die Beleuchtung vollständig gegeben, da damit die Richtung der Lichtstrahlen bestimmt wird. Fällen wir von ~S~ ein Lot zum Horizont, so liefert dies den Fluchtpunkt ~S_{h}~ der Grundschatten. Ist _p'q'_ das gegebene Bild (wir nehmen an, es wäre bereits gefunden), so gibt die Verbindungslinie von _q'_ nach ~S_{h}~ den Grundschatten. Der durch _p_ gehende Lichtstrahl muß aber einerseits durch _p'_, andererseits durch den Fluchtpunkt ~S~ gehen; demnach schneidet die Verbindungslinie von ~S~ nach _p'_ auf der Linie von _q'_ nach ~S_{h}~ den Endpunkt _q_{*}'_ des Grundschattens aus. Es ist _q'p_{*}'_ das Bild des Grundschattens. Die einfache Regel lautet also: _p_{*}'_ ist der Schnittpunkt der Linien _q'_~S_{h}~ und _p'_~S~. Damit ist aber auch die Aufgabe gelöst: den Schatten eines beliebigen Punktes in der Grundebene zu zeichnen. Denn wir brauchen ja nur von dem Punkte das Lot auf die Grundebene zu fällen und dessen Fußpunkt zu ermitteln. Dann können wir nach der obigen Aufgabe den Schatten dieser Senkrechten ermitteln. Wir wenden das an in folgender =Aufgabe 26.= Den Schatten zu zeichnen, den ein Obelisk in die Grundebene wirft. Das Bild des Obelisken, der auf der Grundebene steht, ist nach dem Früheren gezeichnet (Fig. 84). Um den Schatten in der Grundebene zu ermitteln, geben wir uns den Punkt ~S~ und seine Projektion ~S_{h}~. Zunächst zeichnen wir von der in der Tafel liegenden Kante 1.2 des Sockels nach der oben abgeleiteten Regel den Schatten 1.2_{*}'; ebenso finden wir den Schatten 4.3_{*}' der Kante 3.4. Die Verbindungslinie 2_{*}'.3_{*}' ist dann der Schatten der Kante 2.3 und sie flieht, wie man leicht erkennt, nach ~A~. Nun sind die Schatten der 4 Kanten des Obelisken zu zeichnen. Die durch 5 gehende Kante verlängern wir bis zu ihrem Schnittpunkt 6 mit der Grundebene und erhalten in 6.5_{*}' ihren Schatten. Ebenso wird 8.7_{*}' der Schatten der Kante 7.8. Die Schatten der beiden anderen Kanten fallen, wie die Konstruktion zeigt, zwischen diese beiden Schatten hinein, so daß also 6.5_{*}' und 8.7_{*}' den Schatten in der Grundebene begrenzen. Zeichnen wir noch den Schatten 9_{*}' der Spitze 9, indem wir die Senkrechte 9.10 benutzen, so ist der »Schlagschatten« des Obelisken in der Grundebene fertiggestellt, wenn man 9_{*}' mit 5_{*}' und 7_{*}' verbindet. Es bildet sich aber auch auf dem Körper ein Gegensatz von Licht und Schatten aus, in dem gewisse Teile des Körpers in Schatten gesetzt werden (Eigenschatten). Schneidet die Linie 6.5_{*}' die Kante 1.4 in 11, so geht die Begrenzung des Schattens auf dem Sockel senkrecht in die Höhe nach 12. Auf der oberen Fläche des Sockels gibt dann die Linie von 13 nach 12 die Grenze des Schattens und es kann zur Kontrolle dienen, daß sie als ein Grundschatten nach ~S_{h}~ laufen muß. Ferner befinden sich die durch die Kante 13.5 gehende Fläche des Obelisken und die daran sich schließende durch 5.9 gehende Deckfläche im Schatten, was durch Schraffierung angedeutet ist. Endlich mag noch bemerkt werden, daß man den Punkt ~S~ auch oberhalb des Horizonts annehmen kann. Dann hat der Beschauer die Lichtquelle vor sich und die Schatten bilden sich im Bilde nach vorne aus. § 16. Künstlerische Freiheiten. =42. Freiere Gestaltung des Bildes.= Am Schlusse unserer Betrachtungen angelangt, wollen wir uns noch darüber klar werden, was die Lehre von der Perspektive uns bietet, so daß wir uns von einer Überschätzung dieser Wissenschaft in gleicher Weise fernhalten wie von einer Unterschätzung. Die Aufgabe der Perspektive haben wir darin erkannt, daß sie uns ein gesetzmäßig definiertes Bild eines Gegenstandes liefern soll, das uns soweit als möglich den Gesichtseindruck ersetzt, den wir von dem Gegenstand erhalten. Tatsächlich besteht nun aber das Betrachten irgendeines Körpers darin, daß wir seine einzelnen Teile der Reihe nach ins Auge fassen und unseren Blick von einer Stelle zur anderen gleiten lassen. Was wir dabei zunächst beurteilen und abschätzen, sind die Gesichtswinkel, welche die Blicklinien nach den einzelnen Punkten des Körpers miteinander einschließen. Aus allen diesen Beobachtungen und Eindrücken setzen wir dann das Bild des Körpers im Auge zusammen. Da nun aber Winkel durch Kreisbögen gemessen werden, so gelangen wir naturgemäß dazu, um das Auge _{O}_ eine Kugel mit einem beliebigen Radius zu beschreiben und die nach den einzelnen Punkten des Objektes gehenden Blicklinien mit dieser Kugel zum Schnitt zu bringen. Das heißt dann aber nichts anderes, als daß wir das Objekt aus dem Mittelpunkt auf die Kugelfläche projizieren. Ein solches auf der Innenseite einer Kugelfläche gelegenes Bild, das aus dem Mittelpunkt der Kugel betrachtet wird, genügt allen Ansprüchen. Es kann für beliebig große Teile des Raumes hergestellt werden: ein Panorama könnte z. B. in dieser Weise eingerichtet sein. Die geraden Linien des Raumes gehen in größte Kreise auf der Kugel über. In den allermeisten Fällen aber verlangen wir aus Bequemlichkeitsgründen, daß die Abbildung des Gegenstandes auf einer +ebenen+ Fläche erfolgt; wir wollen das Bild in einem Buche, in einer Mappe oder an der Wand haben und deswegen ist das auf einer Kugel gelegene Bild für gewöhnlich nicht zu gebrauchen. Dann liegt es aber nahe, die Kugelfläche durch eine Ebene zu ersetzen in der Weise, daß wir eine Ebene einführen, welche im Punkte _a_ der Kugel auf dem Radius _oa_ senkrecht steht (Fig. 85). Man nennt diese Ebene eine Berührungsebene oder Tangentialebene der Kugel. Statt auf die Kugel projizieren wir nun die Gegenstände auf diese Ebene und sind damit zu der Abbildung gelangt, wie sie die Perspektive liefert. In der Nachbarschaft des Punktes _a_ schmiegt sich die Berührungsebene der Kugel an und beide Abbildungen, die auf der Kugel und die auf der Ebene, stimmen so ziemlich überein. Je größer aber der Ausschnitt des Raumes wird, den wir abbilden, um so stärker weichen die beiden Abbildungen voneinander ab. [Illustration: Fig. 85.] Es ist aber wohl zu beachten, daß die Blickrichtung bei Betrachtung des ebenen Bildes immer mit _Oa_ zusammenfallen muß. Drehen wir den Kopf seitwärts, so daß wir z. B. in der Richtung _Ob_ sehen, so müssen wir uns die in _b_ berührende Ebene als Tafel eingeführt denken. Man könnte nun auf den Gedanken kommen, die Bilder, wie sie den Blickrichtungen _oa_, _ob_, _oc_ ... und den in diesen Punkten konstruierten Berührungsebenen entsprechen, einfach zu einem Gesamtbild zu vereinigen. Aber auch dieser Versuch würde auf große Schwierigkeiten stoßen. Nehmen wir etwa an, es wäre eine Reihe gleichgroßer vertikaler Pfeiler (I, II, III ...) wie in Fig. 36, 37 darzustellen. Dann wäre das Bild des mittleren Pfeilers III am größten und nach beiden Seiten zu würden die Bilder kleiner werden. Die Verbindungslinien der oberen und der unteren Endpunkte wären keine Geraden mehr, sondern krumme Linien, die obere würde sich nach unten, die untere nach oben krümmen. Wir müßten also dann den Grundsatz opfern, daß gerade Linien sich wieder in gerade Linien abbilden und damit würde die Herstellung solcher Bilder ungemein erschwert. Das schließt nun aber nicht aus, daß gewisse Einzelheiten in einem perspektivischen Bilde, namentlich gegen den Rand zu, nicht so gezeichnet werden dürfen, wie es mehr der direkten Blickrichtung entspricht. Namentlich für menschliche Figuren ergeben sich unangenehm wirkende Verzerrungen, indem die Köpfe und Körper zu breit werden und zu allen Zeiten haben sich die Künstler dann einer freieren Darstellung bedient. Eine Reihe gleichgroßer Säulen, die parallel zur Bildebene angeordnet sind, werden im Bilde gleichgroß wiedergegeben, während die äußeren breiter sein müßten, eine Kugel, die seitwärts im Bilde zu sehen ist, wird durch einen Kreis wiedergegeben und nicht durch eine Ellipse. In Raffaels Schule von Athen (Abb. 8, Seite 71) sind, um ein Beispiel zu geben, rechts bei der Gruppe der Astronomen zwei Kugeln dargestellt: die obere wird durch eine Ellipse, die untere wohl durch einen Kreis wiedergegeben. Diese und ähnliche Milderungen der perspektivischen Schablone kann man ruhig dem Geschmack des Künstlers überlassen. Wenn er sich nur über die Hauptgesetze der Linienführung im klaren ist, wird er auch die eine oder andere Abweichung als zweckdienlich erkennen. Denn die perspektivische Zeichnung ist nicht Selbstzweck, sondern nur ein Mittel zum Zweck. Es wird aber auch hier das Wort gelten: Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben. Literaturverzeichnis. +Schlotke, J.+, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. III. Teil. Perspektive. 2. Aufl. Dresden 1902. Mathematisch durchgeführter Lehrgang, in elementarer Weise gut und anschaulich begründet. +Kleiber, M.+, Angewandte Perspektive. 5. Aufl. Webers illustrierte Katechismen. Nr. 137. Leipzig 1912. Gute, praktische und durch viele Beispiele erläuterte Darstellung. +Hauck, G.+, Malerische Perspektive und Schattenkonstruktionen. Berlin 1910. +Niemann, G.+, Handbuch der Linear-Perspektive für bildende Künstler. 2. Aufl. Stuttgart 1902. +Meisel, F.+, Lehrbuch der Perspektive. Leipzig 1908. +Dalwigk, v. F.+, Vorlesungen über darstellende Geometrie. 2. Bd. Perspektive. Leipzig u. Berlin 1914. +Rohn+ u. +Papperitz+, Lehrbuch der darstellenden Geometrie. 3 Bände. Die Perspektive enthält der 2. Bd. Leipzig 1906. Sachregister. (Die beigefügten Zahlen geben die betreffende Seite des Buches an.) Achse, optische eines Objektives 64 Ähnliche Figuren 45, 78 Ähnlichkeitspunkt 78 Apparat, photographischer 64 Aufriß 10 Aufsicht 50 Auge 4, 16 Augpunkt 16 Augenhöhe 25 Beleuchtung durch paralleles Licht 96 Bildebene 4 Bild, perspektivisches 3 ff. --, photographisches 64, 74 -- eines Punktes 4 Breitenmaßstab 50 Brennweite eines Objektives 65 Deckenriß 90 Diagonale eines Quadrates 26 Diagonalpunkt 57 Distanz 16 Distanzpunkt 25 Eigenschatten 99 Einstellung auf Unendlich 65 Ellipse als Bild eines Kreises 93, 95 Fallende Linien im Bilde 40 -- -- im Raum 59, 60 Flucht, Fluchtpunkt einer Geraden 20 Fluchtpunkt-Lineal 86 Freiheiten, künstlerische 99 Gerade Ansicht 58 Gerader Riß 7 Gesichtswinkel 46 Gesamteindruck 69 Grundebene 24 Grundlinie 24 Grundriß 10 Grundschatten 97 Hauptpunkt 16 Höhenmaßstab 43, 44, 50 Horizont 18 Horizontale Gerade 39 Horizontebene 16, 18 Horizontalprojektion 10 Hyperbel als Bild eines Kreises 95 Innenraum 50, 73 Interieur 50, 73 Kante 11 Kellergrundriß 90 Kreis in der Grundebene 92 -- in einer Horizontalebene 92 -- -- -- zur Tafel parallelen Ebene 90 -- -- -- Tiefenebene 93 Linearperspektive 5 Linienperspektive 5 Mittelpunkt eines Objektives 64 -- einer Ellipse 93, 95 Orthogonaler Riß 7 Optische Achse eines Objektives 64 Parabel als Bild eines Kreises 95 Parallelprojektion 13 Perspektive 5 Perspektograph 19 Perspektivisches Bild 3 ff. Projektion 7 Projektionsstrahlen 4 Projektionszentrum 16 Projizierende Strahlen 4 Reduktion 52 Riß, gerader, rechtwinkliger 7 --, zentraler 4 Satz vom Fluchtpunkt 22 Schiefe Gerade im Raum 59 Schlagschatten 99 Schnittmethode 13 Schrägbilder 13 Schräge Ansicht 58 Sehstrahlen 4 Seitenansicht 51 Spur einer Geraden 20 Steigende Linien im Bilde 40 -- -- -- Raum 59, 60 Stürzende Linien 66 Tafel 4 Tiefenebene 41 Tiefenlinie 25 Tiefenmaßstab 33, 50 Übereckstellung 58 Umgelegtes Auge 34, 37 Umlegung des Auges 34 -- der Grundebene 37 -- -- Horizontebene 35, 37 Untersicht 51 Unzugänglicher Distanzpunkt 75 -- Fluchtpunkt 77 ff. Verjüngung 52 Verschiebung der Grundebene 27 Verschwindungspunkt einer Geraden 20 Vertikalprojektion 10 Vogelperspektive 68 Weitwinkel 74 Zentralprojektion 4 Zusammenlegen der Tafeln 11 Geschichte der bildenden Künste Eine Einführung von ~Dr.~ +Ernst Cohn-Wiener+. Geb. ca. M. 4.-- Das Buch will kein historisch geordnetes Nachschlagebuch sein, sondern möglichst viel vom Wesen der Kunst und des Kunstwerkes geben. Es sucht neben dem bloßen Wissen die Freude am Kunstwerk zu vermitteln, erkennen zu lassen, daß hinter dem Werk der Künstler als schöpferische Persönlichkeit steht. Seine Aufgabe, der Selbstbelehrung und als Lehrbuch zu dienen, sucht es nicht zu lösen, indem es durch oberflächliche Behandlung eines verwirrenden Vielerei »mitzureden« befähigt, sondern durch eingehende, Bildhaftigkeit und Anschaulichkeit anstrebende Besprechung der behandelten Kunstwerke sucht es dem Leser den inneren Gehalt der Kunstepochen so vor Augen zu stellen, daß er auch die Werke, die das Büchlein selbst nicht erwähnen kann, zu verstehen vermag. Eine reiche Zahl von Abbildungen -- darunter auch farbige -- dient der Anschaulichkeit. Die neueste Zeit ist besonders eingehend behandelt worden, weil hier das Bedürfnis am unmittelbarsten ist. Elementargesetze der bildenden Kunst Grundlagen einer praktischen Ästhetik von Prof. ~Dr.~ +Hans Cornelius+. 2. Auflage. Mit 245 Abb. und 13 Tafeln. Geh. M. 7.--, geb. M. 8.-- »Es gibt kein Buch, in dem die elementarsten Gesetze künstlerischer Raumgestaltung so klar und anschaulich dargelegt, so überzeugend abgeleitet wären. Wir haben hier zum ersten Male eine zusammenfassende, an zahlreichen einfachen Beispielen erläuterte Darstellung der wesentlichsten Bedingungen, von denen namentlich die plastische Gestaltung in Architektur, Plastik und Kunstgewerbe abhängt.« (+Zeitschrift für Ästhetik+.) Die bildenden Künste Ihre Eigenart und ihr Zusammenhang. Vorlesung von Professor ~Dr.~ +Karl Doehlemann+. Geheftet M. --.80 »Eine tiefgründige Besprechung der bildenden Künste -- Malerei, Plastik und Architektur umfassend -- in durchweg anregender Form. Die Fachwelt wie die gebildeten Stände werden die Schrift mit hoher Befriedigung aufnehmen.« (+Wiener Bauindustrie-Ztg.+) Unser Verhältnis zu den bildenden Künsten Von Prof. ~Dr.~ +August Schmarsow+. Geh. M. 2.--, geb. M. 2.60 »Diese Vorträge bilden den wertvollsten Beitrag zur Literatur über die Kunsterziehungsfrage. Schmarsow entwickelt seine Anschauung über das Verhältnis der Künste zueinander, um zu zeigen, wie jede einzelne einer besonderen Seite der menschlichen Organisation entspreche, wie darum auch alle Künste eng miteinander verknüpft sind, da alle von einem Organismus ausstrahlen.« (+Deutsche Literaturzeitung+.) Psychologie der Kunst Darstellung ihrer Grundzüge. Von ~Dr.~ +R. Müller-Freienfels+. 2 Bde. I: Die Psychologie d. Kunstgenießens u. d. Kunstschaffens. II: Die Formen d. Kunstwerks u. d. Psychol. d. Bewertung. Je M. 4.40, in 1 Bd. M. 10.-- »Was diesem Werke Beachtung und Anerkennung erworben hat, ist zum Teil der Umstand, daß es zu den sehr seltenen wissenschaftlichen deutschen Büchern gehört, die auch einen ästhetischen Wert besitzen, aus denen eine Persönlichkeit spricht, die über eine gute Beherrschung des gesamten psychologischen und ästhetischen Stoffes und über eine ungewöhnliche Gabe der Synthese verfügt.« (+Zeitschrift für Ästhetik+.) Die Natur in der Kunst Stud. eines Naturforschers z. Geschichte d. Malerei. Von Prof. ~Dr.~ +F. Rosen+. M. 120 Abb. nach Zeichn. von +E. Süß+ u. Photographien d. Verf. Geb. M. 12.-- »... Botanik und Kunstgeschichte -- zwei Disziplinen, die einander fremd gegenüberzustehen scheinen! Und doch, wieviel neuen Stoff ergibt dieses doppelte Studium. Mit wachsendem Interesse folgen wir dem Führer und wandeln mit ihm von Stufe zu Stufe empor. Zum Genuß des anregenden Buches tragen auch die vielen Abbildungen bei.« (+Kunstchronik+.) Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin +Mathematik und Malerei.+ Von Oberlehrer ~Dr.~ G. Wolff. Mit 25 Abb. und 19 Fig. im Text. Kart. ca. M. 1.60 Die nahen historischen Beziehungen zwischen Malerei und mathematischer Perspektive werden dazu benutzt, um aus formaler Darstellung eines Bildes dessen künstlerischen Wert zu beurteilen. Der 1. Teil entwickelt im engsten Anschluß an die Malerei die Grundlagen der malerischen Perspektive. Der 2. Teil analysiert mit den so gewonnenen Mitteln einzelne perspektivisch besonders lehrreiche Bilder. +Die altdeutschen Maler in Süddeutschland.+ Von Helene Nemitz. Mit Bilderanhang Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Das Bändchen sucht das Verständnis für die Eigenart und Größe der altdeutschen Malerei des 15. Jahrhunderts und so den Sinn für die in ihren Werken sich offenbarende echt deutsche Schönheit zu wecken. Es zeigt, wie das kraftvolle, tiefinnerliche Gefühlsleben jener Zeit kaum irgendwo eine künstlerisch reinere Ausprägung und Verklärung gefunden hat als in den Bildern der Meister Süddeutschlands. +Albrecht Dürer.+ V. ~Dr.~ R. Wustmann. M. Titelbild u. 32 Abb. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Eine schlichte und knappe Erzählung des gewaltigen menschlichen und künstlerischen Entwicklungsganges Dürers und eine Darstellung seiner Kunst, in der nacheinander Selbst- und Angehörigenbildnisse, die Zeichnungen zur Apokalypse, die Darstellungen von Mann und Weib, das Marienleben, die Stiftungsgemälde, die Radierungen v. Rittertum, Trauer und Heiligkeit sowie die wichtigsten Werke aus der Zeit der Reife behandelt werden. +Niederländische Malerei im 17. Jahrhundert.+ Von ~Dr.~ H. Jantzen. Mit 37 Abb. Geh. M. 1.--, in Lw. geb. M. 1.25 Gibt eine Einführung in das Verständnis dieser Blütezeit der Malerei, indem es die zahlreichen, dort in immer neuen Stoffgebieten: Historienmalerei, Porträt, Gruppenbild, Sittenbild, Interieur, Landschaft, Seestück, Kirchenstück, Stilleben auftauchenden malerischen Probleme sowie ihre gesetzmäßigen Zusammenhänge darlegt und die einzelnen hervortretenden Künstlerpersönlichkeiten und -gruppen kurz und treffend charakterisiert. +Rembrandt.+ V. Prof. ~Dr.~ P. Schubring. Mit 1 Titelb. u. 219 Abb. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Eine lebensvolle Schilderung des menschlichen u. künstl. Entwicklungsganges R's. Zur Darstellung gelangen seine persönl. Schicksale bis 1642, die Frühzeit, die Zeit bis zu Saskias Tode, die Nachtwache, sein Verhältnis zur Bibel, die Radierungen, Urkundliches über die Zeit nach 1642, die Periode des farbigen Helldunkels, die Gemälde nach der Nachtwache und die Spätzeit. Beigefügt sind die beiden ältesten Biographien Rembrandts. +Die deutsche Malerei im 19. Jahrhundert.+ Von Prof. ~Dr.~ R. Hamann. 1 Bd. Text, 1 Bd. Abb. Geh. je M. 2.--, in Lw. geb. je M. 2.50, in Halbperg. geb. M. 6.-- »H. hat eine ausgezeichnete Darstellung des Entwicklungsganges der Malerei im letzten Jahrhundert gegeben. Meines Wissens gibt es in der ganzen modernen Kunstgeschichtschreibung keine annähernd so vortreffliche Darstellung des Wesens der Malerei seit 1860 bis zum Einbruch des Naturalismus, als sie H. im 6. Kap. seines Werkes gibt. Es ist ein Genuß, sich der meisterhaften Behandlung dieser Epoche ruhig hinzugeben.« (+Preuß. Jahrb.+) +Der Impressionismus.+ V. Prof. B. Lazar. Mit 1 farb. Tafel u. 32 Abb. auf Tafeln. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Betrachtet Werden und Wesen des Impressionismus bis in die jüngste Zeit, mit besonderer Betonung der geschichtlichen Entwicklung u. mit Charakterisierung aller großen impressionistischen Maler der Neuzeit. +Die künstlerische Photographie.+ Entwicklung, Probleme, Bedeutung. V. ~Dr.~ W. Warstat. M. Bilderanh. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 +Deutsche Kunsterziehung.+ Im Auftrage des Deutschen Landesausschusses für den III. Internat. Kongreß zur Förderung des Zeichen- und Kunstunterrichts veröffentl. Mit Schülerzeichn. aus Preußen, Bayern, Sachsen u. Hamburg auf 16 Taf. Ausstattung des Buches v. Prof. P. Behrens. Geh. M. 2.-- +Inhalt+: +L. Pallat+: Zeichenunterricht. +G. Kerschensteiner+: Die Entwicklg. d. zeichner. Begabung. +P. Jessen+: Handarbeit u. Kunst. +G. Pauli+: Das deutsche Bilderbuch. +P. Hermann+: Das Wandbild in der Schule. +C. Götze+: Junge Kräfte. +A. Lichtwark+: Die Entwicklung der deutschen Kunstmuseen. +Die Erziehung d. Anschauung.+ Von Prof. H. E. Timerding. Mit 164 Fig. Geh. M. 4.80, in Leinw. geb. M. 5.60 +Wandtafel und Kreide+ im Elementarunterricht. Gedächtniszeichn. m. erläut. Text von Lehrer Othmer. 25 bunte Taf. mit Erläuterungsheft. In Mappe M. 6.50 +Die Technik des Tafelzeichnens.+ Von ~Dr.~ Ernst Weber. 3. Aufl. 40 teils farb. in Kreidetechnik gezeichn. Taf. nebst 1 Erläuterungsheft m. 6 Illustr. In Mappe M. 6.-- +Das darstellende u. schmückende Zeichnen in der Volksschule+ auf der Grundlage der Arbeitsidee. Eine Lehrplanskizze von Lehrer P. Wendler. Mit 9 Taf. (1 farb.) und 4 Abbildungen. Geh. M. 2.-- +Technisches Zeichnen.+ Von Prof. Horstmann, Regierungs- u. Gewerbeschulrat Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 +Lebendiges Papier.+ Erfindgn. u. Entdeckung. ein. Knaben. Der eig. Jugenderinner. nacherz. v. ~Dr.~ E. Weber. Mit 24 Taf. M. 2.50 +Bau und Leben der bildenden Kunst.+ Von ~Dr.~ Theodor Volbehr. Mit 44 Abb. Geh. M. 1.--, in Leinw. geb. M. 1.25 »Im Gegensatz zu den Kompendien und Leitfaden alten Stils, die, die ›Stile‹ nach ihren äußeren Merkmalen klassifizieren, sucht der Verfasser von einem neuen Standpunkte aus in das Verständnis des Wesens der bildenden Kunst hineinzuführen. In durchaus allgemeinverständlicher Darstellung führt uns das Buch in das Verständnis der Künstlerpersönlichkeit als des für die Kunst entscheidenden Faktors ein. Die Entwicklung eigener Ansichten verleiht dem feinsinnigen Buche hohen Reiz, so daß es auch der Künstler u. der Kunstgelehrte nicht ohne Anteilnahme lesen wird.« (+Zeitschrift f. d. gewerbl. Unterricht.+) +Die Entwicklungsgeschichte der Stile in der bildenden Kunst.+ Von ~Dr.~ Ernst Cohn-Wiener Bd. I: Vom Altertum bis zur Gotik. Mit 57 Abb. Bd. II: Von der Renaissance bis zur Gegenwart. Mit 31 Abb. Geh. je M. 1.--, in Lw. geb. je M. 1.25 »... Ein feinsinniges, in hohem Grade anregendes Werk von ersichtlich starker Selbständigkeit seines geistigen Gehaltes. Wir empfehlen Cohns Darlegungen mit ihrem klaren, angenehmen Fluß d. Darstellung der nachdenklichen Kenntnisnahme.« (+St. Galler Bl.+) +Zur Architektur u. Plastik des früheren Mittelalters.+ Untersuchungen v. ~Dr.~ G. Weise. M. Abb. [U. d. Pr.] Die hier vereinigten Einzeluntersuchungen wollen als Vorarbeiten zu einer umfassenden Geschichte der Architektur und Plastik des früheren Mittelalters neue Ergebnisse für die wichtigste Voraussetzung zur Erkenntnis ihres Entwicklungsganges durch eine möglichst genaue Datierung der erhaltenen Werke gewinnen und so für die karolingische und merowingische Zeit eine Vermehrung dieses Materials liefern. In drei Aufsätzen sind die Ergebnisse der von dem Verfasser in jüngster Zeit an verschiedenen karolingischen Denkmälern durchgeführten Grabungen niedergelegt. Eine Reihe kleinerer Aufsätze bringen den Versuch, das heute der Forschung zugängliche Material an karolingischen Denkmälern durch Rekonstruktion einzelner verschwundener Bauten auf Grund der Quellennachrichten zu bereichern. +Michelangelo.+ Eine Einführung in das Verständnis seiner Werke. Von Prof. Ed. Hildebrand. Mit 1 Titelbild u. 43 Abb. i. Text. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 »Dies Buch dürfte zu den besten populären Werken über M. gehören. In überzeugenden, klaren Worten behandelt der Verfasser das übermenschliche Werk dieses großen Meisters, sein Leben und sein Wirken. Bücher wie diese sind dazu geschaffen, tieferes Interesse an der Kunst zu erzeugen, zur Veredelung d. Masse im besten Sinne beizutragen.« (+Der Architekt.+) +Deutsche Baukunst+. Von Geh. Reg.-Rat Prof. ~Dr.~ Ad. Matthaei. 3 Bände. Bd I: Deutsche Baukunst im Mittelalter. 3. Aufl. Mit 29 Abb. Bd. II: Deutsche Baukunst seit dem Mittelalter bis zum Ausgang des 18. Jahrhunderts. Mit 62 Abb. und 3 Tafeln. Bd. III: Deutsche Baukunst im 19. Jahrhundert und in der Gegenwart. Mit 35 Abb. Geh. je M. 1.--, geb. je M. 1.25, in 1 Bd. geb. M. 3.75 »... In bündiger, überaus verständlicher Sprache entrollt der Verfasser die Entwicklungsgeschichte der deutschen Baukunst. Das Buch ist so recht geeignet, das zu erfüllen, was der Verfasser am Schlusse des Buches als Zweck desselben ausspricht: ›Den Laien Klarheit schaffen über die Fragen der Baukunst und die Künstler auf jene Zeit hinweisen, in der die Baukunst der Ausdruck deutschen Wesens war, und in denen noch manche entwicklungsfähigen Keime ruhen dürften‹.« (+Kunst und Handwerk.+) +Die Entwicklungsphasen der neueren Baukunst.+ Von ~Dr.~ Paul Frankl. Mit 50 Abb. im Text u. 24 Abb. auf Tafeln. Geh. M. 6.--, geb. M. 7.50 +Inhalt+: Problem u. Methode. Die Entwicklungsphasen der Raumform -- der Körperform -- der Bildform -- der Zweckgesinnung. Das Unterscheidende und das Gemeinsame der vier Phasen. Das Problem, die Architekturstile seit der Renaissance streng zu definieren, wird hier von neuem aufgenommen. Die Methode ist die, daß die vier Elemente der Architektur, Raumform, Körperform, Bildform und Zweckgesinnung, für sich untersucht werden und die Stilmerkmale, die für jede der Stilphasen, Renaissance, Barock, Rokoko und Klassizismus, als die entscheidenden gelten sollen, auf die allgemeinste Formulierung gebracht werden. Der gemeinsame Grundzug der ganzen Periode ist die Beziehung zur Antike zunächst und daraus folgend zu einem die Kunst verwissenschaftlichenden Begriff von Richtigkeit, der zuletzt sich ausweitet zu einem Nebeneinander und Nacheinander anerkannter Stilrichtigkeiten im 19. Jahrhundert. +Die Begründung der modernen Ästhetik und Kunstwissenschaft durch Leon Battista Alberti.+ Eine kritische Darstellung als Beitrag zur Grundlegung der Kunstwissenschaft. Von ~Dr.~ W. Flemming. [Unter der Presse.] Muß Galilei der Begründer der modernen Naturwissenschaft genannt werden, so darf sein etwas älterer Zeitgenosse L. B. Alberti der Vater der modernen Kunstwissenschaft heißen. Bedeutungsvoller noch als seine Einzelergebnisse ist seine Methode. Diese herauszuarbeiten, ihre Fruchtbarkeit zu erweisen und also den Weg des Florentiners weiterzuschreiten, ist das Ziel dieser Darstellung. +Planimetrie zum Selbstunterricht.+ Von Prof. P. Crantz. Mit 99 Fig. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Macht, ohne auf wissenschaftliche Strenge zu verzichten, in einfacher und allgemein verständlicher Darstellung, die durch historische Bemerkungen belebt wird, mit den Grundlehren der ebenen Geometrie vertraut, wobei besonders der Zusammenhang der einzelnen Sätze und ihr Nutzen durch Angabe praktischer Anwendungen hervorgehoben wird und reichliche Übungsaufgaben nebst Lösungen beigegeben sind. +Arithmetik und Algebra zum Selbstunterricht.+ V. Prof. P. Crantz. 2 Bde. I. Teil: Die Rechnungsarten. Gleichungen ersten Grades mit einer u. mehreren Unbekannten. Gleichungen zweiten Grades. Mit 9 Fig. 3. Aufl. II. Teil: Gleichungen. Arithmetische u. geometrische Reihen. Zinseszins- u. Rentenrechnung. Komplexe Zahlen. Binomischer Lehrsatz. Mit 21 Fig. 2. Aufl. Jeder Bd. geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 ... Will in leicht faßlicher u. für das Selbststudium geeigneter Darstellg. über d. Anfangsgründe der Arithmetik u. Algebra unterrichten. +Ebene Trigonometrie z. Selbstunterricht.+ Von Prof. P. Crantz. Mit 50 Fig. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Will wie die andern in der Sammlung »Aus Natur und Geisteswelt« erschienenen Bändchen über Arithmetik und Algebra und die Planimetrie in leicht verständlicher Weise mit den Grundlehren der Trigonometrie bekannt machen. +Vollständig gelöste Aufgaben und praktische Anwendungen+ sind zur Erläuterung eingefügt. +Analytische Geometrie zum Selbstunterricht.+ V. Prof. P. Crantz. Mit 55 Fig. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Die für den Selbstunterricht bestimmte leicht verständliche Darstellung führt namentlich durch Beigabe zahlreicher ausführlich gelöster Aufgaben rasch zu völliger Beherrschung des Stoffes. +Einführung in die projektive Geometrie.+ Von Prof. ~Dr.~ M. Zacharias. Mit 18 Fig. Kart. M. --.80 »Der Leser bekommt ein klares Bild von der Entstehung der projektiven Geometrie, er kann verfolgen, wie sie sich allmählich zur ›Geometrie der Lage‹ entwickelt hat. Mühelos lernt er eine Reihe der wichtigsten Lehrsätze in diesem Gebiete kennen und sieht, welche Aufgaben mit Hilfe dieser Sätze gelöst werden können. Gute, in den Text eingereihte Figuren unterstützen im hohen Maße das Verständnis der theoretischen Ausführungen. Wir können die Schrift bestens empfehlen.« (+Wochenschr. f. d. öffentl. Baudienst.+) +Konstruktionen in begrenzter Ebene.+ Von Direktor P. Zühlke. Mit 65 Fig. Kart. M. --.80 »Selbst erfahrene Fachmänner auf diesem Gebiete werden gewiß Neues finden, so die Hinweise auf die ältesten, bei den Aufgaben in Frage kommenden Fachschriften und einige Konstruktionen, die überhaupt noch nicht veröffentlicht worden sind ... Druck und Ausstattung sind tadellos. Es kann Interessenten wärmstens empfohlen werden.« (+Österr. Zeitschr. f. Vermessungswes.+) +Schattenkonstruktionen+ für den Gebrauch an Baugewerkschulen, Gewerbeschulen u. ähnl. Lehranstalten sowie zum Selbstunter. von Baugewerkschullehrer J. Hempel. Mit 51 Fig. u. 20 Tafeln praktischer Beispiele in Lichtdruck. In Leinw. geb. M. 5.-- Von d. Voraussetzung ausgehend, daß allein ein klares Erfassen des Raumvorgangs den prakt. Zeichner zum sicheren Konstruieren befähigen kann, gibt der Verfasser nach einem einleitenden Text mit zahlr. Übungsbeispielen kurze Erläuterungen d. angewandten Lösungsverfahren. -- Den parallelprojektiven Schattenkonstruktionen ist noch eine kleinere Gruppe perspektivischer Schattenkonstruktionen angefügt. +Das Licht u. die Farben.+ 6 Vorles., geh. im Volkshochschulverein München. Von Prof. ~Dr.~ L. Graetz. 3. Aufl. Mit 117 Abb. Geh. M. 1.--, in Leinwand geb. M. 1.25 Führt, von den einfachsten optischen Erscheinungen ausgehend, zur tieferen Einsicht in die Natur des Lichtes u. der Farben, behandelt, ausgehend v. der scheinbar geradlinigen Ausbreitung, Zurückwerfung und Brechung des Lichtes, das Wesen der Farben, die Beugungserscheinungen und die Photographie. +Die optischen Instrumente.+ Von ~Dr.~ M. von Rohr. 2., verm. u. verb. Aufl. Mit 88 Abb. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 »Wer die Schwierigkeiten u. den Umfang der Abbeschen Theorie der optischen Instrumente kennt, wird der vortrefflichen allgemein verständlichen Darstellung seine Anerkennung nicht versagen können. Jedem, der sich über den jetzigen Stand oder irgendeine Frage der Optotechnik rasch belehren will, kann das Buch wärmstens empfohlen werden.« (+Streffleurs militär. Zeitschrift.+) +Das Stereoskop und seine Anwendungen.+ Von Prof. Th. Hartwig. Mit 40 Abb. im Text u. 19 stereoskop. Taf. Geh. M. 1.--, geb. M. 1.25 Behandelt die verschiedenen Erscheinungen u. praktischen Anwendungen der Stereoskopie, insbesondere die stereoskopischen Himmelsphotographien, die stereoskopische Darstellung mikroskopischer Objekte, das Stereoskop als Meßinstrument und Bedeutung und Anwendung des Stereokomparators, insbesondere in bezug auf photogrammetrische Messungen. Verlag von B. G. Teubner in Leipzig und Berlin Weitere Anmerkungen zur Transkription Der Katalog »Aus Natur und Geisteswelt« wurde entfernt, er steht auf Project Gutenberg als Projekt 53614 zur Verfügung. Offensichtliche Fehler wurden stillschweigend korrigiert. Korrekturen: S. 36: D_{1} → D_{2} ~AD_{3}~ = ~AD_{1}~ = ~A{D_{2}}~ S. 99: o → O um das Auge _{O}_ eine Kugel *** END OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK GRUNDZÜGE DER PERSPEKTIVE NEBST ANWENDUNGEN *** Updated editions will replace the previous one—the old editions will be renamed. Creating the works from print editions not protected by U.S. copyright law means that no one owns a United States copyright in these works, so the Foundation (and you!) can copy and distribute it in the United States without permission and without paying copyright royalties. Special rules, set forth in the General Terms of Use part of this license, apply to copying and distributing Project Gutenberg™ electronic works to protect the PROJECT GUTENBERG™ concept and trademark. Project Gutenberg is a registered trademark, and may not be used if you charge for an eBook, except by following the terms of the trademark license, including paying royalties for use of the Project Gutenberg trademark. 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General Terms of Use and Redistributing Project Gutenberg™ electronic works 1.A. By reading or using any part of this Project Gutenberg™ electronic work, you indicate that you have read, understand, agree to and accept all the terms of this license and intellectual property (trademark/copyright) agreement. If you do not agree to abide by all the terms of this agreement, you must cease using and return or destroy all copies of Project Gutenberg™ electronic works in your possession. If you paid a fee for obtaining a copy of or access to a Project Gutenberg™ electronic work and you do not agree to be bound by the terms of this agreement, you may obtain a refund from the person or entity to whom you paid the fee as set forth in paragraph 1.E.8. 1.B. “Project Gutenberg” is a registered trademark. It may only be used on or associated in any way with an electronic work by people who agree to be bound by the terms of this agreement. 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