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Artur Fürst / Alexander Moszkowski

Das Buch der 1000 Wunder

128. Eine ausgezeichnete Zahl

Quelle: »Taschenbuch für Mathematiker und Physiker«. Verlag von B. G. Teubner, Leipzig.

Gewisse hohe Zahlen besitzen Eigenschaften von besonderem Wert und Reiz; unter ihnen befinden sich einige, die den vorläufigen Abschluß einer langen Forschungsreihe darstellen.

Der Fall, der hier behandelt werden soll, öffnet sich dem leichtesten Nachdenken. Unter einer Primzahl versteht man eine ganze Zahl, die nicht durch eine andere ganze Zahl (außer der 1) teilbar ist. Ihre Aufeinanderfolge

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 usw.

scheint keiner Regel zu gehorchen. Die zwischen ihnen vorhandenen Lücken sind bald größer, bald kleiner, und es gelingt nicht, eine Gesetzmäßigkeit darin zu erkennen. Der große französische Mathematiker Fermat glaubte einen Weg zur Konstruktion beliebig hoher Primzahlen gefunden zu haben, allein der größere deutsche Denker Euler enthüllte beweiskräftig den Irrtum Fermats.

Aber schon Euklid wußte, daß die Anzahl der Primzahlen unbegrenzt ist. Und hierfür gibt es einen in sich ziemlich einfachen, dabei unübertrefflich eleganten Beweis, der von den Fachmännern als das Muster mathematischer »Induktion« gepriesen wird.

Und trotzdem gerät man dabei in eine Zwickmühle. Hat man eine noch so hohe Primzahl gefunden, so läßt sich sofort dartun: es muß noch höhere geben. Bloß wo sie stecken und wie sie aussehen, das läßt sich in hohen Regionen nicht mehr ermitteln. Man erkennt nur mit zwingender Logik: sie müssen vorhanden sein. Ja noch mehr: man übersieht einen genau abzusteckenden Zahlbereich, innerhalb dessen sich die jedesmal größere Primzahl tummeln muß. Und doch kann man sie jenseits einer gewissen Grenze nicht fassen.

Diese Grenze liegt im Endlichen und ist bekannt. Das Trillionen-Monstrum von Zahl

2 305843 009213 693951

190 bezeichnet haarscharf die heutige Jagdgrenze für die Primzahljäger; sie ist die größte aller bis jetzt als solche nachgewiesenen Primzahlen; ein kapitaler Einundsechzigender, in der Trophäensammlung auch als 2⁶¹–1 gebucht.

Bis jetzt! Die Zukunft kann die Zahl entthronen und ein anderes noch viel ungeheuerlicheres Monstrum an ihre Stelle setzen. Denn es existiert sicher und andere in unbegrenzter Anzahl dazu!